Aufgabe #75 (IMO),(ZT) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:03 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man finde alle natürlichen $m,n,k$ mit [mm] $3^m+4^n=5^k$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Do 29.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Nehmen wir an, es sei [mm] $(k,m,n)\in\IN^3$ [/mm] ein Lösungstripel. Dann ist also [mm] $3^k+4^m=5^n$, [/mm] insbesondere also [mm] $3^k+4^m\equiv 5^n\pmod{3}\gdw 1\equiv 5^n\pmod {3}\gdw n\equiv 0\pmod [/mm] {2}$, d.h. $n=2n'$ mit geeignetem [mm] $n'\in\IN$. [/mm] Dann ist [mm] $3^k=5^{2n}-\left(2^m\right)^2=(5^n-2^m)(5^n+2^m)$. [/mm] Es folgt, dass beide Faktoren Dreierpotenzen sind. Sind sie beide von 1 verschieden, so muss auch [mm] $2^{m+1}$ [/mm] ein Vielfaches von $3$ sein - Widerspruch. Es ist also [mm] $5^{n'}=2^m+1$. [/mm] Für [mm] $m\geq [/mm] 3$ ist [mm] $2^m+1\equiv 1\pmod [/mm] {8}$, es folgt [mm] $5^{n'}\equiv 1\pmod {8}\gdw [/mm] n'=2n''$, d.h. [mm] $(5^{n''}-1)(5^{n''}+1)=2^m$, [/mm] was keine Lösung besitzt ($2$ und $4$ sind die einzigen Zweierpotenzen mit Differenz 2, allerdings existiert kein $n''$ mit [mm] $5^{n''}-1=2$). [/mm] Es muss also [mm] $m\leq [/mm] 2$ sein. $m=0,1$ ergibt keine LÖsung und $m=2$ ergibt mit $n'=1$ die einzig gültige Lösung [mm] $5^1=2^2+1$, [/mm] woraus $k=2,m=2,n=2$ folgt.
Das einzige Lösungstripel ist daher $(2,2,2)$, nämlich das wohlbekannte pythagoräische Tripel [mm] $3^2+4^2=5^2$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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