Aufgabe #64 (IrMO),(UGL) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 12:41 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es seien $a,b,c,d$ positive reelle Zahlen mit $a+b+c+d=1$. Beweise, dass
[mm] $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\geq \frac{1}{2}$
[/mm]
gilt, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn [mm] $a=b=c=d=\frac{1}{4}$.
[/mm]
--
Wenn jemand mag, kann er auch gleich die Verallgemeinerung beweisen.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Du hattest ja gefragt, ob ich nicht auch mal wieder eine Aufgabe lösen möchte. Na gut, dann versuche ich es mal: 
Aus der Konvexität der Funktion $f(x)= [mm] \frac{1}{1+x}$ [/mm] für $x>-1$ folgt:
[mm] $\frac{a^2}{a+b} [/mm] + [mm] \frac{b^2}{b+c} [/mm] + [mm] \frac{c^2}{c+d} [/mm] + [mm] \frac{d^2}{d+a}$
[/mm]
$= a [mm] \cdot \frac{1}{1+\frac{b}{a}} [/mm] + b [mm] \cdot \frac{1}{1+\frac{b}{c}} [/mm] + c [mm] \cdot \frac{1}{1+ \frac{d}{c}}+ [/mm] d [mm] \cdot \frac{1}{1 + \frac{a}{d}}$
[/mm]
[mm] $\ge \frac{1}{1+ a \cdot \frac{b}{a} + b \cdot \frac{c}{b} + c \cdot \frac{d}{c} + d \cdot \frac{a}{d}}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{1+b+c+d+a}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
> Du hattest ja gefragt, ob ich nicht auch mal wieder eine Aufgabe lösen möchte. Na gut, dann versuche ich es mal:
Super, das freut mich!
> Aus der Konvexität der Funktion $ f(x)= [mm] \frac{1}{1+x} [/mm] $ für x>-1 folgt:
> $ [mm] \frac{a^2}{a+b} [/mm] + [mm] \frac{b^2}{b+c} [/mm] + [mm] \frac{c^2}{c+d} [/mm] + [mm] \frac{d^2}{d+a} [/mm] $
> $ = a [mm] \cdot \frac{1}{1+\frac{b}{a}} [/mm] + b [mm] \cdot \frac{1}{1+\frac{b}{c}} [/mm] + c [mm] \cdot \frac{1}{1+ \frac{d}{c}}+ [/mm] d [mm] \cdot \frac{1}{1 + \frac{a}{d}} [/mm] $
> $ [mm] \ge \frac{1}{1+ a \cdot \frac{b}{a} + b \cdot \frac{c}{b} + c \cdot \frac{d}{c} + d \cdot \frac{a}{d}} [/mm] $
> $ = [mm] \frac{1}{1+b+c+d+a} [/mm] $
> $ = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $.
Eine tolle Lösung, sogar mit der Jensen Ungleichung, die ich ja so gerne habe :)
Ich freue mich auf weitere Lösungen von dir :)
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
