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Forum "Mathe-Olympiaden anderer Länder" - Aufgabe #63 (IrMO),(FGL)
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Aufgabe #63 (IrMO),(FGL): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 12:39 Mo 18.07.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Die Funktion [mm] $f:\IN\to\IN$ ($\IN:=\{1,2,...,\}$) [/mm] erfülle
(1) $f(ab)=f(a)f(b)$ für alle natürlichen Zahlen $a,b$ mit $ggT(a,b)=1$,
(b) $f(p+q)=f(p)+f(q)$ für alle Primzahlen $p,q$.
Beweise, dass $f(2)=2, f(3)=3$ und $f(1999)=1999$.


Liebe Grüße,
Hanno
        
Bezug
Aufgabe #63 (IrMO),(FGL): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Mi 20.07.2005
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

Ich habe leider nur eine megapeinliche, extrem unelegante Lösung anzubieten:

Aus

$2 [mm] \cdot [/mm] f(3) = f(3) + f(3) = f(6) = f(2) [mm] \cdot [/mm] f(3)$

folgt:

$f(2)=2$.

Dann ist

$f(4) = 2 [mm] \cdot [/mm] f(2) = 4$

und

(1) $f(12) = f(3) [mm] \cdot [/mm] f(4) = 4 [mm] \cdot [/mm] f(3)$,

andererseits aber:

(2) $f(12) = f(5) + f(7) = 3f(2) + 2f(3) = 6  + 2f(3)$.

Aus (1) und (2) folgt:

$f(3) = 3$.

Ebenso haben wir:

$f(5) = f(2) + f(3) = 5$

und daher

$f(7) = f(2) + f(5) = 7$.

Wir erhalten:

$14 = 2 [mm] \cdot [/mm] 7 = f(2) [mm] \cdot [/mm] f(7) = f(14) = f(11) + f(3) = f(11) + 3$,

also:

$f(11) = 11$.

Zuletzt noch:

$f(13) = f(11) + f(2) = 11 +2 =13$.

Daraus folgt:

$f(2002) = f(2) [mm] \cdot [/mm] f(7) [mm] \cdot [/mm] f(11) [mm] \cdot [/mm] f(13) = 2 [mm] \cdot [/mm] 7 [mm] \cdot [/mm] 11 [mm] \cdot [/mm] 13 = 2002$,

also:

$f(1999) = f(2002) - f(3) = 1999$,

da $1999$ prim ist.

[peinlich]

So, und jetzt bitte die elegante Lösung von dir. :-)

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Aufgabe #63 (IrMO),(FGL): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Mi 20.07.2005
Autor: Hanno

Hallo Stefan!

Na, also megapeinlich muss dir das doch nicht sein :) Ich glaube nicht, dass es eine LÖsung gibt, die nicht ohne diese Rumprobiererei auskommt; ferner bezweifle ich, dass die Aufgabe anders gedacht war, bzw. das mit anderen Lösungen gerechnet wurde.

Ich selbst habe es fast genau so gemacht, nur, dass ich nicht 2002, sondern 2001 zerlegt habe, was ebenso gut funktioniert.


Liebe Grüße,
Hanno
Bezug
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