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Forum "VK 29: Oberstufenmathematik" - Aufgabe 2

Aufgabe 2 < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe

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Aufgabe 2: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	11:27 Di 13.05.2008
Autor:	Tyskie84

Aufgabe

 Wende die Produktregel an.





a) [mm] f(x)=(3x+4)\cdot(7x²+5)
 [/mm]

b) [mm] f(x)=(2x+2)\cdot(4x^{5}+7x+2)
 [/mm]

c) [mm] f(x)=(2x²-9)\cdot\\e^{x}
 [/mm]

d) [mm] f(x)=(4x³-1)\cdot\bruch{1}{x}
 [/mm]

e) [mm] f(x)=(7x²+5x+3)\cdot\\4^{x}
 [/mm]

f) [mm] f(x)=5^{x}\cdot\wurzel{x}
 [/mm]

g) [mm] f(x)=e^{x}\cdot(x²+2x+1)
 [/mm]

h) [mm] f(x)=sin^{2}(x)
 [/mm]

i) [mm] f(x)=e^{x}\cdot(sin(x)-cos(x))
 [/mm]

j) [mm] f(x)=(2x²+x)\cdot\\cos(x)
 [/mm]

k) [mm] f(x)=3^{x}\cdot(\wurzel{x}-\bruch{1}{x}) [/mm] 

Quelle: Elemente der Mathematik

Bezug

Aufgabe 2: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	16:41 So 18.05.2008
Autor:	AbraxasRishi

Hallo nochmal!

a) f'(x) = [mm] 3(7x^2+5)+14x(3x+4) [/mm] = [mm] 63x^2+71 [/mm]

b)f'(x) = [mm] 2(4x^5+7x+2)+(20x^4+7)(2x+2) [/mm] = [mm] 48x^5+28x+40x^4+18 [/mm]

c) f'(x) = [mm] 4x*e^x+(2x^2-9)*e^x [/mm]

d) f'(x) = 12x + [mm] 48x^5 -12x^2 [/mm]

f) f'(x) = [mm] 5^x*ln5*[/mm] [mm]\wurzel{x}+ \bruch{0,5}{\wurzel{x}}*5^x [/mm]

g) f'(x) = [mm] e^x(x^2+2x+1)+(2x+2)e^x [/mm] = [mm] 3e^x+4xe^{x+1}+ex^{x+2} [/mm]

h) f'(x) = [mm] 2sinx+sin^2 [/mm]

i) f'(x) = [mm] e^x(cosx+sinx)+e^x(sinx-cosx) [/mm]

j)f'(x) = [mm] (4x+1)cosx+sinx(2x^2+x) [/mm]

k)f'(x) = [mm] (3^x*ln3)*([/mm] [mm]\wurzel{x}-\bruch{1}{x})+(\bruch{0,5}{\wurzel{x}}+1)*3^x[/mm]

Gruß

Angelika

Bezug

Aufgabe 2: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:02 So 18.05.2008
Autor:	Tyskie84

Hallo Angelika,

> Hallo nochmal!
>
> a) f'(x) = [mm]3(7x^2+5)+14x(3x+4)[/mm] = [mm]63x^2+71[/mm]
>

Leider

> b)f'(x) = [mm]2(4x^5+7x+2)+(20x^4+7)(2x+2)[/mm] =
> [mm]48x^5+28x+40x^4+18[/mm]
>

> c) f'(x) = [mm]4x*e^x+(2x^2-9)*e^x[/mm]
>

aber man kann das noch umschreiben zu [mm] e^{x}\cdot(2x^{2}+4x-9) [/mm]
> d) f'(x) = 12x + [mm]48x^5 -12x^2[/mm]
>

Bitte Rechenweg aufführen

die e) fehlt leider.

> f) f'(x) = [mm]5^x*ln5*[/mm] [mm]\wurzel{x}+ \bruch{0,5}{\wurzel{x}}*5^x[/mm]

aber man kann noch weiter zusammenfassen.

>
>
> g) f'(x) = [mm]e^x(x^2+2x+1)+(2x+2)e^x[/mm] =
> [mm]3e^x+4xe^{x+1}+ex^{x+2}[/mm]
>

Das verstehe ich nicht wie du darauf gekommen bist. Bitte Rechenweg.
> h) f'(x) = [mm]2sinx+sin^2[/mm]
>

> i) f'(x) = [mm]e^x(cosx+sinx)+e^x(sinx-cosx)[/mm]
>

aber bitte weiter zusammenfassen

> j)f'(x) = [mm](4x+1)cosx+sinx(2x^2+x)[/mm]
>

hier hat sich ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschliechen sonst

> k)f'(x) = [mm](3^x*ln3)*([/mm]
> [mm]\wurzel{x}-\bruch{1}{x})+(\bruch{0,5}{\wurzel{x}}+1)*3^x[/mm]
>

hier stimmt irgendetwas nicht deswegen leider

> Gruß
>
> Angelika
>
>
>

Gruß

Bezug

Aufgabe 2: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	20:25 So 18.05.2008
Autor:	AbraxasRishi

Hallo Tyskie!

Danke für deine schnelle Korrektur! Werde ab jetzt immer Lösungswege mitposten!

Bei a) habe ich den Fehler erkannt:

f'(x) = [mm] 63x^2+15+56x [/mm]

Auch bei d) habe ich scheinbar etwas zu hastig gearbeitet. Mein neuer Vorschlag:

v' = [mm] 12x^2 [/mm]
u' =  [mm] -1x^{-2} [/mm]

f'(x)=v'*u+u'*v= 12x - [mm] \bruch{4x^3-1}{x^2} [/mm]

e) Hab ich vergesen:

v' = [mm] 4^x*ln4 [/mm]
u' = 14x+5

f'(x) = [mm] (7x^2+5x+3)*(4^x*ln4)+(14x+5)*4^x [/mm] =   [mm] 38,816x^{2+x}+83,725^{1+x}+36,63^{1+x} [/mm]

Ist das schon "zuviel"   vereinfacht?

f) f'(x) = Stimmt das so: [mm] \bruch{8,047x^x+2,25^x}{\wurzel{x}}[/mm] ?

g)   v = [mm] e^x [/mm]           v' = [mm] e^x [/mm] (weil e ist doch die eulersche Zahl, oder?)
       u = [mm] (x^2+2x+1) [/mm]   u' = 2x+2

     [mm] f'(x)=e^x*(2x+2)+e^x [/mm] * [mm] (x^2+2x+1) [/mm]   dann habe ich ausmultipliziert:
    f'(x)= [mm] ex^{x+2}+2ex^{x+1}+e^x+2ex^{x+1}+2e^x [/mm] und ich bin auf das angegebene Ergebniss gekommen.

h) v = [mm] sin^2 [/mm]               v' = 2cos               Ist das so richtig(Ableitungen von sin und cos habe ich praktisch sehr wenig geübt)??
    u = x                       u' = 1

f'(x)=   [mm] sin^2+2cosx [/mm]

i) [mm] f'(x)=2e^x*sinx [/mm]

j) f'(x) = [mm] (4x+1)*(-cosx)+(2x^2+x)*sinx [/mm]

k) Hier habe ich keine Ahnung was du meinst?:

    v = [mm] 3^x [/mm]                 v' = [mm] 3^x*ln3 [/mm]
     u = [mm] \wurzel{x}-\bruch{1}{x}[/mm]  [mm] u' = \bruch{0,5}{\wurzel{x}}+\bruch{1}{x^2}[/mm]

Vielen Dank für deine Hilfe!

Gruß

Angelika

Bezug

Aufgabe 2: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:02 So 18.05.2008
Autor:	Tyskie84

Hi Angelika,

> Hallo Tyskie!
>
> Danke für deine schnelle Korrektur! Werde ab jetzt immer
> Lösungswege mitposten!
>
> Bei a) habe ich den Fehler erkannt:
>
> f'(x) = [mm]63x^2+15+56x[/mm]
>

> Auch bei d) habe ich scheinbar etwas zu hastig gearbeitet.
> Mein neuer Vorschlag:
>
> v' = [mm]12x^2[/mm]
>  u' =  [mm]-1x^{-2}[/mm]
>
> f'(x)=v'*u+u'*v= 12x - [mm]\bruch{4x^3-1}{x^2}[/mm]
>

Ich akzeptiere deinen neuen Vorschlag

aber fasse so weit wie möglich zusammen und versuche auf [mm] 8x+\bruch{1}{x^{2}} [/mm] zu kommen.
> e) Hab ich vergesen:
>
> v' = [mm]4^x*ln4[/mm]
>  u' = 14x+5
>
> f'(x) = [mm](7x^2+5x+3)*(4^x*ln4)+(14x+5)*4^x[/mm] =
> [mm]38,816x^{2+x}+83,725^{1+x}+36,63^{1+x}[/mm]
>
> Ist das schon "zuviel"   vereinfacht?
>

Ich fürchte ja

Es ist [mm] 4^{x}\cdot(14x+5+7x^{2}log(4)+5xlog(4)+3log(4)) [/mm] das kann man auch noch zusammenfassen was aber nicht unbedingt einfacher aussieht deshalb kann man das so stehen lassen :-)

> f) f'(x) = Stimmt das so:
> [mm]\bruch{8,047x^x+2,25^x}{\wurzel{x}}[/mm] ?
>

Es war [mm] 5^{x}\cdot\\ln(5)\cdot\wurzel{x}+\bruch{5^{x}}{2\cdot\wurzel{x}} [/mm] und das kann man zusammenfassen zu [mm] \bruch{5^{x}\cdot(ln(25)x+1)}{2\wurzel{x}} [/mm]
> g)   v = [mm]e^x[/mm]           v' = [mm]e^x[/mm] (weil e ist doch die
> eulersche Zahl, oder?)
>         u = [mm](x^2+2x+1)[/mm]   u' = 2x+2
>
> [mm]f'(x)=e^x*(2x+2)+e^x[/mm] * [mm](x^2+2x+1)[/mm]   dann habe ich
> ausmultipliziert:
>      f'(x)= [mm]ex^{x+2}+2ex^{x+1}+e^x+2ex^{x+1}+2e^x[/mm] und ich
> bin auf das angegebene Ergebniss gekommen.
>

Es ist: [mm] e^{x}\cdot(x²+2x+1) [/mm]

Dann ist [mm] f'(x)=e^{x}\cdot(x²+2x+1)+e^{x}\cdot(2x+2)=e^{x}\cdot(x²+4x+3) [/mm] Mehr kann man hier nicht zusammenfassen.

Kleiner Zusatz:

[mm] e^{x}\cdot\\2x\not=ex^{x+2} e^{x} [/mm] ist eine eigenständige Funktion und keine Zahl.
> h) v = [mm]sin^2[/mm]               v' = 2cos               Ist das
> so richtig(Ableitungen von sin und cos habe ich praktisch
> sehr wenig geübt)??
> u = x                       u' = 1
>
> f'(x)=   [mm]sin^2+2cosx[/mm]
>

Beachte dass [mm] \\sin^{2}(x)=(sin(x))^{2}=sin(x)\cdot\\sin(x). [/mm] Die Ableitung vom Sinus ist der Cosinus. Versuch es noch einmal.
>
> i) [mm]f'(x)=2e^x*sinx[/mm]
>

> j) f'(x) = [mm](4x+1)*(-cosx)+(2x^2+x)*sinx[/mm]
>

Nicht ganz es muss heissen: [mm] \\(4x+1)\cdot\\cos(x)\red{-}(2x^{²}+x)\cdot\\sin(x) [/mm]
> k) Hier habe ich keine Ahnung was du meinst?:
>
> v = [mm]3^x[/mm]                 v' = [mm]3^x*ln3[/mm]
>       u = [mm]\wurzel{x}-\bruch{1}{x}[/mm]  [mm]u' = \bruch{0,5}{\wurzel{x}}+\bruch{1}{x^2}[/mm]
>

Schreibe aber lieber [mm] \bruch{1}{2\cdot\wurzel{x}} [/mm] anstatt [mm] \bruch{0,5}{\wurzel{x}}. [/mm] Und jetzt noch mit der Produktregel zusammenfassen Hauptnenner finden und zusammenfassen :-)

> Vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Gruß
>
> Angelika
>
>

Gruß

Bezug

Aufgabe 2: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	15:19 Sa 24.05.2008
Autor:	Mandy_90

Hallo^^

würd gern wissen,ob das so stimmt.

a) [mm] f'(x)=63x^{2}+56x+15 [/mm]
b) [mm] f'(x)=48x^{5}+28x+40x^{4}+18 [/mm]
d) [mm] f'(x)=12x^{2}*(\bruch{1}{x})-\bruch{1}{x^{2}}*(4x^{3}-1) [/mm]
Hier war ich mir nicht sicher,ob man das noch zusammenfassen kann ?

h)f'(x)=cos(x)*sin(x)+cos(x)*sin(x)
= 2*(cos(x)+sin(x))

[mm] j)f'(x)=cos(x)*4x+cos(x)-sin(x)*2x^{2}+sin(x)*x [/mm]

lg

Bezug

Aufgabe 2: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	15:28 Sa 24.05.2008
Autor:	Tyskie84

Hallo Mandy,

> Hallo^^
>
> würd gern wissen,ob das so stimmt.
>
> a) [mm]f'(x)=63x^{2}+56x+15[/mm]

> b) [mm]f'(x)=48x^{5}+28x+40x^{4}+18[/mm]

>  d)
> [mm]f'(x)=12x^{2}*(\bruch{1}{x})-\bruch{1}{x^{2}}*(4x^{3}-1)[/mm]
>      Hier war ich mir nicht sicher,ob man das noch
> zusammenfassen kann ?
>

Das ist

aber man kann hier noch zusammenfassen. Dazu schreibe deine Ableitung wie folgt um:

Wir haben [mm] \\f'(x)=12x^{2}\cdot\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^{2}}\cdot(4x^{3}-1)=12x-\bruch{4x^{3}-1}{x^{2}} [/mm] und jetzt noch den Hauptnenner finden und noch zusammenfassen.

> h)f'(x)=cos(x)*sin(x)+cos(x)*sin(x)
> = 2*(cos(x)+sin(x))
>

> [mm]j)f'(x)=cos(x)*4x+cos(x)-sin(x)*2x^{2}+sin(x)*x[/mm]
>

Schreibe es aber besser so: [mm] \\f'(x)=(4x+1)\cdot\\cos(x)-(2x^{2}+x)\cdot\\sin(x) [/mm]

> lg

Gruß

Bezug

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