Aufgabe #111 (ZT),(INMO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:18 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Hanno |
| Aufgabe | Zeige: für jede natürliche Zahl $n$ gibt es verschiedene, ganze Zahlen $a,b$, sodass $a+k$ Teiler von $b+k$ für $k=1,2,...,n$ ist.
Man beweise, dass $a+k|b+k$ für alle [mm] $k\in \IN$ [/mm] nur für $a=b$ möglich ist. |
Viel Spaß!
Liebe Grüße,
Hanno
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| Aufgabe | Zeige: für jede natürliche Zahl $ n $ gibt es verschiedene, ganze Zahlen $ a,b $, sodass $ a+k $ Teiler von $ b+k $ für $ k=1,2,...,n $ ist.
Man beweise, dass $ a+k|b+k $ für alle $ [mm] k\in \IN [/mm] $ nur für $ a=b $ möglich ist. |
Hallo Hanno.
(1) Seien $a=0,b=n!$. Dann ist wegen $a+k=k$ und $k|n!+k$ für [mm] $k\leq [/mm] n$ die Bedingung erfüllt.
(2) Seien [mm] $a,b\in \mathbb{Z}$ [/mm] mit $a+k|b+k$ für alle [mm] $k\in \mathbb{N}$. [/mm] Dann seien $a'=a+m, b'=b+m$ und $m$ so gewählt, dass $a',b'>0$ (etwa $m=|a|+|b|+1$). Es gilt auch $a'+k|b'+k$ f.a. [mm] $k\in \mathbb{N}_0$. [/mm] Für $k>b'-2a'$ folgt $2(a'+k)>b'+k [mm] \Leftrightarrow 2>\frac{b'+k}{a'+k}$. [/mm] Da der Bruch natürlich sein muss folgt [mm] $\frac{b'+k}{a'+k}=1 \Rightarrow [/mm] a'=b' [mm] \Rightarrow [/mm] a=b$.
MfG
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Do 29.12.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Jan
Die Aufgabe ist schön und sauber gelöst. Anerkennung ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
mfG Moudi
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