Aufgabe #100 (?),(UG) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 14:44 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es seien $a,b,c$ positive reelle Zahlen mit [mm] $a^2+b^2+c^2=3$. [/mm] Man beweise:
[mm] $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq\frac{3}{2}$.
[/mm]
So, das war jetzt schon die 100. Aufgabe!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Sa 01.10.2005 | | Autor: | ZetaX |
Hallo Hanno,
Es ist (Derangement)
[mm] $3=a^2+b^2+c^2 [/mm] >= ab+bc+ca$
und nach der AM-HM-Ungleichung ist
$ [mm] \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ca} \geq \frac{9}{3+3} [/mm] = [mm] \frac{3}{2}$
[/mm]
Grüße,
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Sa 01.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Daniel!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße,
Hanno
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