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Forum "Folgen und Reihen" - Auf Konvergenz prüfen
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Auf Konvergenz prüfen: Bitte um Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Di 08.12.2015
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Prüfen Sie auf Konvergenz / Divergenz:

[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{(k!)^2}{(2k)!} [/mm]

Hallo,
ich habe das Quotientenkriterium benutzt, also:
| [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] |  Die Betragsstriche kann ich weglassen, da der Bruch stets positiv ist und bleibt.

Also( Doppelbruch direkt umgeformt bzw. anders aufgeschrieben)

[mm] \bruch{(k+1)^{2}}{(2(k+1))!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{(k!)^{2}} [/mm]

[mm] \bruch{(k+1)(k+1)}{(2k+2)(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{k!*k!} [/mm]

(2k+2) = 2(k+1)

[mm] \bruch{(k+1)(k+1)}{2(k+1)(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{k!*k!} [/mm]

kürzen

[mm] \bruch{k+1}{2(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{k!*k!} [/mm]

(2k+1)! = 2k! (2k+1)

[mm] \bruch{k+1}{2*2k!(2k+1)} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{k!*k!} [/mm]

kürzen

[mm] \bruch{k+1}{2(2k+1)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{k!*k!} [/mm]

[mm] \bruch{k+1}{4k+2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{k!*k!} [/mm]

So, ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Könnte mir jemand bitte einen Tipp geben?
Obwohl.. bei [mm] \bruch{1}{k!*k!} [/mm] und wenn k gegen unendlich geht, dann wird der zweite Bruch 0. Also ist es eine NUllfolge, also 0 <1 , also konvergent. Kann ich das hier schon annehmen, oder muss ich weiter umformen? Beim Umformen fällt mir leider nix mehr ein.
        
Bezug
Auf Konvergenz prüfen: Fakultät vergessen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Di 08.12.2015
Autor: Loddar

Hallo pc-doctor!


Dir sind leider ganz zu Anfang im Zähler des ersten Bruches die Fakultätszeichen bei [mm] $((k+1)\red{!})^2$ [/mm] verloren gegangen.

Dadurch sieht der weitere Term natürlich auch anders aus.


Gruß
Loddar
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Auf Konvergenz prüfen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Di 08.12.2015
Autor: pc_doctor

Hallo,
danke. So ein Mist :D, also noch mal.

[mm] \bruch{((k+1)!)^2}{(2(k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{(k!)^2} [/mm]

[mm] \bruch{(k+1)! * (k+1)!}{(2k+2)(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{(k!)^2} [/mm]

[mm] \bruch{(k+1)k! * (k+1)k!}{(2k+2)*(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{(k!)^2} [/mm]

[mm] \bruch{(k+1)k! * (k+1)k!}{(2k+2)*(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{k!*k!} [/mm]

kürzen

[mm] \bruch{(k+1)(k+1)}{(2k+2)(2k+1)!} [/mm] * (2k)!

[mm] \bruch{(k+1)(k+1)}{2(k+1)*(2k+1)!} [/mm] * (2k)!

kürzen

[mm] \bruch{k+1}{2(2k+1)!} [/mm] * (2k)!

[mm] \bruch{k+1}{2(2k+1)*2k!} [/mm] * (2k)!

[mm] \bruch{k+1}{2(2k+1)} [/mm]

[mm] \bruch{k+1}{4k+2} [/mm]

[mm] \bruch{k(1+\bruch{1}{k})}{k(4+\bruch{2}{k})} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

[mm] \bruch{1}{4} [/mm] < 1

=> Die Reihe ist konvergent.

Ich hoffe, jetzt stimmt es.
Bezug
                        
Bezug
Auf Konvergenz prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Di 08.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo Doc,

> Hallo,
> danke. So ein Mist :D, also noch mal.

>
> [mm]\bruch{((k+1)!)^2}{(2(k+1)!}[/mm] * [mm]\bruch{(2k)!}{(k!)^2}[/mm]

>
> [mm]\bruch{(k+1)! * (k+1)!}{(2k+2)(2k+1)!}[/mm] * [mm]\bruch{(2k)!}{(k!)^2}[/mm] [ok]

>
> [mm]\bruch{(k+1)k! * (k+1)k!}{(2k+2)*(2k+1)!}[/mm] * [mm]\bruch{(2k)!}{(k!)^2}[/mm] [ok]

>
> [mm]\bruch{(k+1)k! * (k+1)k!}{(2k+2)*(2k+1)!}[/mm] * [mm]\bruch{(2k)!}{k!*k!}[/mm] [ok]

>
> kürzen

>
> [mm]\bruch{(k+1)(k+1)}{(2k+2)(2k+1)!}[/mm] * (2k)! [ok]

>
> [mm]\bruch{(k+1)(k+1)}{2(k+1)*(2k+1)!}[/mm] * (2k)! [ok]

Alternativ: [mm](2k+1)!=(2k)!\cdot{}(2k+1)[/mm]

>
> kürzen

>
> [mm]\bruch{k+1}{2(2k+1)!}[/mm] * (2k)!

>
> [mm]\bruch{k+1}{2(2k+1)*2k!}[/mm] * (2k)! [ok]

Ah, da kommt's ja doch ;-)

Aber bitte Klammern setzen: im Nenner [mm]2(2k+1)\cdot{}\red{(}2k\red )![/mm]

>
> [mm]\bruch{k+1}{2(2k+1)}[/mm]

>
> [mm]\bruch{k+1}{4k+2}[/mm]

>
> [mm]\bruch{k(1+\bruch{1}{k})}{k(4+\bruch{2}{k})}[/mm] [ok]

>
> = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]

Naja, nicht gleich, aber [mm]\longrightarrow \frac{1}{4}[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm]

>
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] < 1

>
> => Die Reihe ist konvergent.

Sogar absolut!

>
> Ich hoffe, jetzt stimmt es.

Bis auf ein parr Ungenauigkeiten im Aufschrieb ja!

Gruß

schachuzipus
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Auf Konvergenz prüfen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Di 08.12.2015
Autor: pc_doctor

Hallo,
alles klar, vielen Dank für die Antworten und Kontrolle.

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