Attraktivität/Stabilität < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben: Das ebene autonome System in Polarkoordinaten:
r'=r(1-r), [mm] \mu'=\mu(2\pi-\mu) [/mm] wobei: [mm] (r\ge [/mm] 0, 0 [mm] \le \mu [/mm] < [mm] 2\pi)
[/mm]
Dieses kann elementar gelöst werden.
Skizziere das Phasenporträt des Systems in karthesischen Koordinaten und zeige: Der Gleichgewichtspunkt (1,0) ist attraktiv, aber nicht stabil. Bestimme den Anziehungsbereich. |
Hallo,
Mein erstes Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich mir unter diesem System grafisch nichts vorstellen kann. Deshalb versteh ich auch nicht, wie ich hier auf das Phasenporträt kommen soll. Was bedeutet hier in karthesischen Koordinaten? Unter einem Phasenporträt versteh ich eine grafische Veranschaulichung, wie die Lösungen dieser Diff.gleichungssystem verlaufen...
Ein Gleichgewichtspunkt ist eine Nullstelle. Wenn die Nullstelle (1,0) attraktiv sein soll, dann muss es ja eine offene Umgebung U geben, sodass für alle [mm] \lambda \in [/mm] U: sup [mm] J_{\lambda}= \infty, \limes_{t\rightarrow\infty} u_{\lambda}(t) [/mm] = (1,0), wobei [mm] u_{\lambda}: J_{\lambda} \to [/mm] D die maximale Lösung des AWP ist. Nicht stabil bedeutet, dass [mm] |u_{\lambda}(t)-(1,0)| [/mm] > [mm] \epsilon [/mm] ist, d.h. ich verlasse die Umgebung des Gleichgewichtspunkts.
Aber wie zeige ich das hier konkret angewandt auf meine Aufgabe? Wie muss ich hier das autonome System umformen? Mir fällt es schwer, diese Umgebung zu finden.
Danke, milka
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 12.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
