Asymptote und Sattelpunkt < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mi 06.02.2008 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | Konstruieren und geben Sie ein Beispiel, wenn möglich mit einer einfachen Funktion,deren Graph eine Gerade als schräge Asymptote und
- nur ein Wendpunkt
- nur einen Sattelpunkt hat.
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Hallo,
hoffe euch geht´s allen gut.
Ich habe mal wieder schwierigkeiten meine Hausaufgaben zu lösen.
Wir sollen Funktionen suchen, die vorgegebene Bedingungungen erfüllen ("Steckbriefe") einmal nur mit den Variablen a, b,c,........ und einmal mit richtigen Zahlen (hoffe ihe versteht wie ich das meine).
Ich hatte schonmal eine ähnliche Aufgabe wie bei der ersten Teilaufgabe(Wendepunkt) da habe ich mit Hilfe des Forums ein Ergebnis bekommen und das mit den Wendepunkten verstanden (da haben wir richtige Zahlen eingesetzt),da brauch ich Hilfe wie ich das mit Buchstaben hinkriege,da ich mir darunter nichts verstehen kann und den Überblick verliere.
Bei der 2.Teilaufgabe (Sattelpunkt) bin ich mir nicht ganz sicher,aber ich glaube zu wissen,dass das wir bei den Wendpunkten die notwendige Bedingung,dass die 2. Ableitung Nullstellen aufweist. Aber wie gesagt,ich bin mir nicht sicher.
Ich danke allen im Voraus die mir helfen wollen und helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Mi 06.02.2008 | | Autor: | abakus |
Ein Sattelpunkt ist auch eine besondere Form des Wendepunkts. (Entweder ihr sollt das herausfinden, oder die Aufgabe ist unpäzise formuliert (falls zwei Wendepunkte gefordert sind, von denen einer ein Sattelpunkt ist.) Ich hoffe mal dass letzteres nicht zutrifft.
Eine ganz einfache Funktion mit schiefer Asymptote ist y=x+f(x), wobei f(x) eine Funktion ist, die für x gegen unendlich gegen Null strebt.
Was kommt da in Frage?
y=x+1/x hat gar keine Wendestellen.
y=x+ 1/(x+1) ebenfalls nicht.
y=x+ [mm] x/(x+1)^2 [/mm] hat einen Wendepunkt, der aber keine horizontale Tangente hat.
Wie wäre es mit
y=x+100x/(x+1) ? Auf alle Fälle hat die Wendetangente dort einen anderen Anstieg. Der Faktor 100 war aber nicht der richtige.
Probiere es mal mit y=x+ax/(x+1) und rechne ein passendes a aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mi 06.02.2008 | | Autor: | amilade |
Hallo und danke für deine Antwort!
> Ein Sattelpunkt ist auch eine besondere Form des
> Wendepunkts. (Entweder ihr sollt das herausfinden, oder die
> Aufgabe ist unpäzise formuliert (falls zwei Wendepunkte
> gefordert sind, von denen einer ein Sattelpunkt ist.) Ich
> hoffe mal dass letzteres nicht zutrifft.
Das erste trifft zu!
>
> Eine ganz einfache Funktion mit schiefer Asymptote ist
> y=x+f(x), wobei f(x) eine Funktion ist, die für x gegen
> unendlich gegen Null strebt.
Kommen schiefe Asymptoten nicht nur in gebrochrationale Funktionen vor?
> Was kommt da in Frage?
> y=x+1/x hat gar keine Wendestellen.
> y=x+ 1/(x+1) ebenfalls nicht.
> y=x+ [mm]x/(x+1)^2[/mm] hat einen Wendepunkt, der aber keine
> horizontale Tangente hat.
das mit der horizontalen Tangente versteh ich nicht
> Wie wäre es mit
> y=x+100x/(x+1) ? Auf alle Fälle hat die Wendetangente dort
> einen anderen Anstieg. Der Faktor 100 war aber nicht der
> richtige.
> Probiere es mal mit y=x+ax/(x+1) und rechne ein passendes
> a aus.
>
ich weiß hier leider auch nicht,wie ich a ausrechnen soll,denn wenn ich es versuche kriege ich für a raus: a= 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mi 06.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo und danke für deine Antwort!
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> > Ein Sattelpunkt ist auch eine besondere Form des
> > Wendepunkts. (Entweder ihr sollt das herausfinden, oder die
> > Aufgabe ist unpäzise formuliert (falls zwei Wendepunkte
> > gefordert sind, von denen einer ein Sattelpunkt ist.) Ich
> > hoffe mal dass letzteres nicht zutrifft.
>
> Das erste trifft zu!
> >
> > Eine ganz einfache Funktion mit schiefer Asymptote ist
> > y=x+f(x), wobei f(x) eine Funktion ist, die für x gegen
> > unendlich gegen Null strebt.
>
> Kommen schiefe Asymptoten nicht nur in gebrochrationale
> Funktionen vor?
Nicht nur. Beispiel: [mm] y=2^x [/mm] hat als Asxmptote die negative x-Achse (da gehen die Funktionswerte gegen Null). Bei y=x + [mm] 2^x [/mm] gehen die Werte, die vorher gegen Null gegangen sind, gegen x (und damit geht der Graph für negative x gegen die schiefe Asymptote y=x).
>
> > Was kommt da in Frage?
> > y=x+1/x hat gar keine Wendestellen.
> > y=x+ 1/(x+1) ebenfalls nicht.
Das SIND übrigens alles gebrochenrationale Funktionen. Wenn ich das einzelne x mit dem Nenner des nachfolgenden Bruchterms erweitere, komme ich auf [mm] (x^2 [/mm] +1)/x bzw. [mm] (x^2 [/mm] +x+1)/(x+1)
> > y=x+ [mm]x/(x+1)^2[/mm] hat einen Wendepunkt, der aber keine
> > horizontale Tangente hat.
>
> das mit der horizontalen Tangente versteh ich nicht
Sattelpunkte sind Wendepunkte mit einer waagerechten Tangente (z.B. der Punkt (0|0) in der Funktion [mm] y=x^3 [/mm] ).
> > Wie wäre es mit
> > y=x+100x/(x+1) ? Auf alle Fälle hat die Wendetangente dort
> > einen anderen Anstieg. Der Faktor 100 war aber nicht der
> > richtige.
> > Probiere es mal mit y=x+ax/(x+1) und rechne ein
> passendes
> > a aus.
> >
> ich weiß hier leider auch nicht,wie ich a ausrechnen
> soll,denn wenn ich es versuche kriege ich für a raus: a= 1
>
Du suchst schließlich einen Wendepunkt. Bilde also die 2. Ableitung und setze sie Null. Du bekommst irgendein x in Abhängigkeit von a.
Bilde für die gefundenen Stelle x die 1. Ableitung und setze sie Null (die Tangente soll ja waagerecht sein). Damit bekommst du ein konkretes a heraus, mit dem das tatsächlich gilt.
(Hoffe ich jedenfalls.)
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