Art Unstetigkeitspunkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Mi 28.04.2010 | | Autor: | mathe_FS |
| Aufgabe | a) f(x,y)=sin [mm] \bruch{1}{xy}
[/mm]
b) [mm] f(x,y)=\bruch{xy}{x+y}
[/mm]
c) [mm] f(x,y)=\bruch{1}{sinx*siny} [/mm] |
Habe das so probiert wie im Seminar besprochen:
a) Die Fkt. ist nicht definiert für die Punkte (0,0) (0,y) (x,0).
Für den ersten Punkt habe ich den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] laufen lassen. Wenn ich das einsetze, komme ich nach umformen auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sin [mm] n^{2}. [/mm] Nun ist dieser Grenzwert nicht definiert. Da ich beim Punkt [mm] (\bruch{1}{n}, -\bruch{1}{n}) [/mm] auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sin [mm] -n^{2} [/mm] komme, existiert der GW auch nicht.
Also ist es kein Unstetigkeitspunkt?!
Habe ich irgendwo einen Denkfehler??? Auch bei den anderen Punkten führt es zur Nichtexistenz.
b) Ist nicht def. für (0,0) (x,y=-x) (x=-y,y).
Für (0,0) ist es ein Unstetigkeitspunkt 2. Art, da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] f(x) = [mm] \infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n}, -\bruch{1}{n}) [/mm] f(x) nicht existiert.
Aber wie ist es bei den anderen beiden Punkten. Da kürzt sich das im Nenner weg und somit ist es nicht definiert [mm] \Rightarrow [/mm] wieder kein Unstetigkeitspunkt?
c) Ist kompliziert, da ich nicht weiß, was mir sin [mm] \bruch{1}{n}*sin \bruch{1}{n} [/mm] im Nenner sagt.
Erstmal ist die Fkt. für (0,0) (0,y) (x,0) [mm] (k\pi,y) (x,k\pi) [/mm] nicht definiert.
Aber das einsetzen und daraus etwas schließen, fällt mir schwer.
Könnt ihr mir helfen? BITTE!
mathe-fs
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Das hatten wir schon mal:
https://matheraum.de/read?t=676239
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mi 28.04.2010 | | Autor: | mathe_FS |
Das stimmt schon - hilft mir aber nicht weiter.
Ich soll ja ALLE Unstetigkeitspunkte finden. Heißt das also, wenn ich keinen GW erhalte, sind das dann keine Unstetigkeitspunkte???
Sind meine Überlegungen überhaupt richtig???
mathe-fs
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Hast Du auch das gelesen ?
Tu das. Dann siehst Du:
alle 3 Funktionen sind auf ihren jeweilgen Definitionsbereichen stetig.
Für Punkte, die nicht zum Def. -Bereich gehören, ist die Frage nach Stetigkeit völlig sinnlos !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Mi 28.04.2010 | | Autor: | mathe_FS |
Sinnlos sind die Aufgaben eh - davon mal abgesehen.
Ich glaube uns ist klar, dass es im Definitionsbereich keine Unstetigkeitsstellen für diese Fkt. gibt - nur dem Professor anscheinend nicht, denn die Aufgabe lautet:
Finden Sie Unstetigkeitspunkte der folgenden Funktionen und geben Sie ihren Charackter an.
Soll ich da jetzt als Lösung hinschreiben, dass es keine gibt, weil die die es gäbe gar nicht im Definitionsbereich liegen?
Unlogisch!
Naja trotzdem Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sinnlos sind die Aufgaben eh - davon mal abgesehen.
> Ich glaube uns ist klar, dass es im Definitionsbereich
> keine Unstetigkeitsstellen für diese Fkt. gibt - nur dem
> Professor anscheinend nicht, denn die Aufgabe lautet:
> Finden Sie Unstetigkeitspunkte der folgenden Funktionen
> und geben Sie ihren Charackter an.
> Soll ich da jetzt als Lösung hinschreiben, dass es keine
> gibt, weil die die es gäbe gar nicht im Definitionsbereich
> liegen?
Ganau das machst Du ! Und gib Deinem Professor noch folgendes mit auf den Weg (dann lernt er noch was dazu):
Mein verehrter Lehrmeister H. Heuser schreibt in seinem Lehrbuch der Analysis (Teil 1):
" die Funktion x [mm] \to [/mm] 1/x ist auf [mm] \IR [/mm] \ {0} definiert, sie ist im Punkt 0 nicht unstetig, auch nicht stetig - sondern nur nicht definiert"
FRED
> Unlogisch!
> Naja trotzdem Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mi 28.04.2010 | | Autor: | gfm |
Nun, Du könntest schreiben:
Eine Funktion ist eine Teilmenge R des kartesischen Produkts von [mm] AxB:=\{(x,y):x\in A, y\in B\} [/mm] zweier Mengen A und B, sodaß aus [mm] (x_1,y_1), (x_1,y_2)\in [/mm] R, [mm] y_1=y_2 [/mm] folgt. Meistens gibt man den Übergang von x nach y durch eine Vorschrift [mm] f:x\mapsto [/mm] y=f(x) und die Menge A an, aus der die x zu wählen sind. Diese Vorschrift sollte wohldefiniert sein, d.h. für alle [mm] x\in [/mm] A anwendbar sein. Denn z.b. die üblichen Definitionen von Stetigkeit setzen voraus, dass genau dieses gegeben ist, denn man soll ja untersuchen, ob
- offene Bilder offene Urbilder haben oder
- ob konvergente Urbildfolgen konvergente Bildfolgen haben oder ob
- man durch geeignete hinreichende kleine Abstände der Urbilder beliebig kleine Abstände bei den Bildern bekommt.
Dazu muss man die Vorschrift auswerten können.
Wenn nun keine Angabe für A getroffen ist, muss man die Vorschrift f eigenständig auf ihren sinnvollen Definitionsbereich überprüfen und diesen beachten. Dabei kann es vorkommen, dass die so eingeschränke Vorschrift f auf ihrem Definitionsbereich stetig wird, was hier der Fall ist. Wenn sich nun wie hier die Vorschrift sich als Komposition von Vorschriften darstellt, ist gegebenenfalls noch zu prüfen, ob die Bilder der inneren Vorschriften im sinnvollen Definitionsbereich der äußeren Vorschriften liegen.
Es handelt sich also gar nicht um eine Stetigkeitsuntersuchung im eigentlichen Sinne, sondern um die Bestimmung des sinnvollen Definitionsbereichs, da sobald man die Vorschrift auf ihre sinnvollen Definitionsbereich unter Berücksichtigung der Kompositionen engeschränkt hat, sich die Stetigkeit aus dem Satz über die Komposition von stetigen Funktionen ergibt. Denn alle hier angegebenen Vorschrift sind auf ihrem sinnvollen Definitionsbereich stetig.
Die Stellen, an denen eine Vorschrift nicht sinnvoll erklärt ist, nennt man Definitionslücken. diese sollen jetzt bestimmt werden:
a) f(x,y)=sin(1/(xy)) = [mm] f_1\circ f_2\circ f_3=\sin \circ 1/[(.)_x(.)_y] \circ id_\IR^2
[/mm]
[mm] f_3=id_\IR^2: D_{id_\IR^2}=\IR^2
[/mm]
[mm] B_{f_3}=\IR^2
[/mm]
[mm] f_2=1/[(.)_x(.)_y]
[/mm]
Die Division durch Null ist im Reellen nicht erklärt. Deswegen darf weder x noch y verschwinden.
[mm] D_{f_2}=\IR^2 \backslash (0,\IR) \cup (\IR,0)
[/mm]
Da der Nenner von [mm] f_2 [/mm] beliebiges Vorzeichen hat sowie beliebig klein und groß werden kann, ist [mm] B_{f_2}=\IR\backslash \{0\}
[/mm]
Da die Sinusfunktion für [mm] \IR [/mm] definiert ist, ergeben sich keine weiteren Einschränkungen des Definitionsbereiches.
LG
gfm
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