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| Aufgabe | Seien n, m von Null verschiedene natürliche Zahlen, dann kürzen wir die Eigenschaft, dass n
ein Teiler von m ist, durch n|m ab. Beweisen Sie, dass die auf diese Weise definierte Relation
zwischen von Null verschiedenen natürlichen Zahlen sowohl reflexiv als auch transitiv ist. |
Hallo Leute,
Ehrlich gesagt haben wir noch garkeine Informationen für diese Aufgabe bekommen, aber wir sollen sie lösen..
Ich sitze mit einem Freund hier und wir sind nicht sehr weit gekommen:
In unserem Fall bilden wir die Relation R aus einer Menge [mm] \IN [/mm] , diese müsste Reflexiv oder Transitiv sein, mit Begründung eines Beweises.
Folgende simple Idee :
Reflexiv: m=n
m=2
n=2
2/2 = 1
=> weil m=n ist, ist es reflexiv für (n,m) [mm] \in [/mm] R für n,m [mm] \in \IN
[/mm]
So nun ist es für die Zahl "2" bewiesen, wie erweitere ich diese nun auf alle natürlichen Zahlen.
Wir sind leider auf keinen besseren Gedanken gekommen.
Für Transitivität ist uns nichts nennenswertes eingefallen ;)
Lg, Daniel und David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Daniel und David,
ihr müsst zeigen, dass gilt:
[mm] $m|m\quad\forall m\in\mathbb{N}\backslash\{0\}$ [/mm] (Reflexivität) und
$m|n\ [mm] \wedge\ n|k\quad\Rightarrow\quad m|k\quad\forall m,n,k\in\mathbb{N}\backslash\{0\}$ [/mm] (Transitivität)
$n|m$ bedeutet doch, dass es eine natürliche (oder ganze - je nach Definition) Zahl $a$ gibt, so dass $m=a*n$. Oder anders: [mm] $\frac{m}{n}=a\in\mathbb{N}$
[/mm]
Zur Reflexivität: folgert aus [mm] $\frac{m}{m}=1\quad\forall m\in\mathbb{N}\backslash\{0\}$, [/mm] dass gilt $m|m$.
Transitivität: benutzt die Beziehung $m=a*n [mm] \Leftrightarrow [/mm] n|m$ (mit [mm] $a\in\mathbb{N}$).
[/mm]
Wenn ihr nicht weiterkommt, fragt einfach nochmal.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hey,
Also, nur damit wir das richtig verstanden haben:
Bezogen auf unser Bsp für die Reflexivität
[mm] \bruch{m}{n}=1 [/mm] muss nun gelten m=n*1
Wir verstehen nicht wirklich was wie zubeweisen ist...
Zur Transitivität sind wir auch nicht weiter, wozu muss man
m=a*n bzw k=b*m (m | k) müssen wir nun zeigen das aus k|n eine natürliche Zahl rauskommt? aber wie?
Lieben Gruß, Daniel und David
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mo 12.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst mal sollt klar sein, was transitiv ist: A ist Schwester von B, B ist Schwester von C, folgt A ist Schwester von C
Schwester sein ist transitiv. (aber nicht reflexiv)
jetzt ein Beispiel zu deinen Zahlen: 6 teilt 12 denn 12=2*6 , 12 teilt 120 denn 120=10*12
6 teilt 120 denn 120=10*12=10*2*6=20*6
so jetzt versuch das mal mit Zahlen n,m,k
lest vielleicht auch noch den wiki artikel ueber transitive Relationen,
bezogen uf die Reflexivitaet, kommt kein n und m vor nur wegen m=1*m fuer alle [mm] M\in \IN [/mm] gilt Reflexivitaet.
Gruss leduart
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Okay, das ist für uns irgendwie sehr verwirrend ;)
Es ist doch nur Reflexivität wenn: m=n
=> [mm] \bruch{m}{n} [/mm] = 1
=> m = n*1
Damit wäre unsere Vorraussetzung (m=n) bewiesen und somit Reflexiv.
Wir haben das Gefühl als wenn wir einen Begriff mit sich selbst erklärt haben.
Bei Transitivität bewegen wir uns, trotz des anschaulichen Bespiels, weiterhin auf dem Holzweg.
Lg David und Daniel
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Hallo ihr Kämpfer 
> Okay, das ist für uns irgendwie sehr verwirrend ;)
>
> Es ist doch nur Reflexivität wenn: m=n
> => [mm]\bruch{m}{n}[/mm] = 1
> => m = n*1
>
> Damit wäre unsere Vorraussetzung (m=n) bewiesen und somit
> Reflexiv.
> Wir haben das Gefühl als wenn wir einen Begriff mit sich
> selbst erklärt haben.
Ich mag diese Bruchdarstellung nicht und halte mich lieber an die Definition der Teilbarkeit: [mm] $m\mid [/mm] n$ genau dann, wenn es ein [mm] $a\in\IN$ [/mm] gibt mit [mm] $n=m\cdot{}a$
[/mm]
Ich wiederhole mal ein bisschen, das kann am Anfang nicht schaden (ich hoffe, ihr und meine Vorredner sehen es mir nach)
Für die Reflexivität ist zu zeigen, dass für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $n\mid [/mm] n$ (dass also "n teilt n" gilt)
Gebt euch also ein beliebiges [mm] $n\in\IN$ [/mm] vor
Nach Definition ist also ein [mm] $a\in\IN$ [/mm] anzugeben, so dass [mm] $n=n\cdot{}a$ [/mm] ist.
Gibt es so ein a? Wie lautet es?
>
> Bei Transitivität bewegen wir uns, trotz des anschaulichen
> Bespiels, weiterhin auf dem Holzweg.
Ok, auch hier ein paar wiederholende Worte:
zu zeigen ist, dass wenn für beliebige [mm] $m,n,r\in\IN$ [/mm] gilt, dass [mm] $m\mid [/mm] n$ und [mm] $n\mid [/mm] r$, dann gefälligst auch [mm] $m\mid [/mm] r$ gelten muss.
Haltet euch wieder an die Definition der Teilbarkeit:
Seien also [mm] $m,n,r\in\IN$ [/mm] beliebig mit [mm] $m\mid [/mm] n$ und [mm] $n\mid [/mm] r$ gegeben.
Das bedeutet, es gibt natürlichen Zahlen $a$ und $b$ mit [mm] $\blue{n=m\cdot{}a}$ [/mm] und [mm] $\red{r=n\cdot{}b}$
[/mm]
Soweit klar?
Nun müsst ihr daraus folgern, dass dann auch [mm] $m\mid [/mm] r$ gilt, dass es also eine Zahl [mm] $c\in\IN$ [/mm] gibt, so dass [mm] $r=m\cdot{}c$
[/mm]
Könnt ihr $c$ aus den Zahlen $a$ und $b$ und den beiden farbigen Gleichungen konstruieren?
>
> Lg David und Daniel
Gruß
schachuzipus
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Hallo Leute,
wir sind es mal wieder ;)
dank eurer Hilfe sind wir auf folgende Lösung gekommen.
Zur Transitivität:
m|n [mm] \wedge [/mm] n|r => m|r
n=m*a r=n*b => r=m*c
Nun gilt es also m | r zubeweisen, bzw das es ein c für alle [mm] c\in \IN [/mm] gibt für die Gleichung r=m*c .
Durch Einsetzung der ersten beiden Gleichung kommen wir auf
r=m*a*b
=> [mm] \bruch{r}{m}=a*b
[/mm]
womit c = a*b wäre.
Beweiß durch ein Zahlenbsp.:
m=2, n=10, r=40
[mm] \bruch{10}{2}\wedge\bruch{40}{10}=>\bruch{40}{2}
[/mm]
5 ^ 4 => 20
c= a*b
20 = 4*5
Beim Beweiß für die Reflexivität sind wir nicht so sicher...
Für unsere Aufgabe ist zu zeigen n|m das dies 1 ist.
m=n*a und für a = 1 ist m=n also auch Reflexiv..
somit auch n=n oder m=m, jenachdem. Ist das korrekt ;) ?
Liebe Grüße und Danke für eure Hilfe, Daniel und David
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Di 13.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute,
>
> wir sind es mal wieder ;)
>
> dank eurer Hilfe sind wir auf folgende Lösung gekommen.
>
> Zur Transitivität:
>
> m|n [mm]\wedge[/mm] n|r => m|r
>
> n=m*a r=n*b => r=m*c
>
> Nun gilt es also m | r zubeweisen, bzw das es ein c für
> alle [mm]c\in \IN[/mm] gibt für die Gleichung r=m*c .
?????????????????
Es ist zu zeigen, dass es ein c [mm] \in \IN [/mm] gibt mit r= mc
>
> Durch Einsetzung der ersten beiden Gleichung kommen wir auf
>
> r=m*a*b
>
> => [mm]\bruch{r}{m}=a*b[/mm]
>
> womit c = a*b wäre.
O.K.
>
> Beweiß durch ein Zahlenbsp.:
Wozu ???????????? Beweis schreibt man nicht mit ß
>
> m=2, n=10, r=40
>
> [mm]\bruch{10}{2}\wedge\bruch{40}{10}=>\bruch{40}{2}[/mm]
>
> 5 ^ 4 => 20
> c= a*b
>
> 20 = 4*5
>
> Beim Beweiß für die Reflexivität sind wir nicht so
> sicher...
Dazu hat Fulla oben schon alles gesagt !!!
>
> Für unsere Aufgabe ist zu zeigen n|m das dies 1 ist.
>
> m=n*a und für a = 1 ist m=n also auch Reflexiv..
> somit auch n=n oder m=m, jenachdem. Ist das korrekt ;) ?
Nein. Nochmal : z,z,: $m|m $ für jedes m [mm] \in \IN
[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüße und Danke für eure Hilfe, Daniel und David
>
>
>
>
>
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> Hallo ihr Kämpfer
>
> > Okay, das ist für uns irgendwie sehr verwirrend ;)
> >
> > Es ist doch nur Reflexivität wenn: m=n
> > => [mm]\bruch{m}{n}[/mm] = 1
> > => m = n*1
> >
> > Damit wäre unsere Vorraussetzung (m=n) bewiesen und somit
> > Reflexiv.
> > Wir haben das Gefühl als wenn wir einen Begriff mit
> sich
> > selbst erklärt haben.
>
> Ich mag diese Bruchdarstellung nicht und halte mich lieber
> an die Definition der Teilbarkeit: [mm]m\mid n[/mm] genau dann, wenn
> es ein [mm]a\in\IN[/mm] gibt mit [mm]n=m\cdot{}a[/mm]
>
> Ich wiederhole mal ein bisschen, das kann am Anfang nicht
> schaden (ich hoffe, ihr und meine Vorredner sehen es
> mir nach)
>
> Für die Reflexivität ist zu zeigen, dass für jedes
> [mm]n\in\IN[/mm] gilt [mm]n\mid n[/mm] (dass also "n teilt n" gilt)
>
> Gebt euch also ein beliebiges [mm]n\in\IN[/mm] vor
>
> Nach Definition ist also ein [mm]a\in\IN[/mm] anzugeben, so dass
> [mm]n=n\cdot{}a[/mm] ist.
>
> Gibt es so ein a? Wie lautet es?
>
Ja wir sollen doch die Relation n|m und nicht n|n auf Reflexivität untersuchen oder kann man das quasi "ummünzen".
n=m*a
a müsste also 1 sein.
Kann uns niemand im Detail erklären was hier grundsätzlich missverstanden wird von uns? Wir kommen auf keinen grünen Zweig :(
Lg David und Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Di 13.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn x R x für alle Elemente x der Menge gilt
Hier ist R = |.
Dass für jedes n [mm] \in \IN [/mm] die Eigenschaft $n|n$ erfüllt ist, ist doch eine Trivialität.
Somit liegt Reflxivität vor
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Di 13.10.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Okay, vielen Dank an alle^^
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> Hallo
> erst mal sollt klar sein, was transitiv ist: A ist
> Schwester von B, B ist Schwester von C, folgt A ist
> Schwester von C
> Schwester sein ist transitiv. (aber nicht reflexiv)
Hallo leduart,
in der Definition der Transitivität:
"aus xRy und yRz folgt xRz"
wird nicht vorausgesetzt, dass [mm] x\not=z [/mm] sein muss.
Haben wir nun also ein Schwesternpaar [mm] \{A,B\}, [/mm] so
müsste bei Transitivität aus den beiden richtigen
Aussagen "A ist Schwester von B" und "B ist Schwes-
ter von A" folgen, dass A Schwester von A ist.
Dies ist aber nicht der Fall - also ist die Relation
"... ist Schwester von ..." offenbar doch nicht
transitiv.
Nebenbei: die Relation ist natürlich auch nicht
symmetrisch: Aus "A ist Schwester von B" folgt
nicht, dass auch B Schwester von A ist. (Bruder
Bert würde wohl heftig protestieren...)
LG Al
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