Arithm. und geom. Mittel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 So 22.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel
$ [mm] \wurzel[n]{a_{1}*...*a_{n}} \le \bruch{a_{1}+...+a_{n}}{n}$
[/mm]
für alle positiven reelen Zahlen [mm] $a_{1},...,a_{n}$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass Gleichheit nur dann eintreten kann, wenn [mm] $a_{1}=...=a_{n}$ [/mm] ist.
Anleitung:
Führen Sie eine Induktion nach n durch und untersuchen Sie im Induktionsschritt zu gegebenen [mm] $a_{1},...,a_{n}$ [/mm] die Funktion
$f: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
$x [mm] \mapsto [/mm] ( [mm] \bruch{a_{1}+...+a_{n}+x}{n+1} )^{n+1}-a_{1}*...a_{n}*x$
[/mm]
mit den Mittel der Differentialrechnung auf Minima.
Überlegen Sie sich, warum für ein Polynom $p(x)= [mm] \summe_{j=0}^{n} \alpha_{j}*x^{j}$ [/mm] mit [mm] $\alpha_{1},...,\alpha_{1}$ [/mm] und [mm] $\alpha_{n}>0$ [/mm] gilt [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}p(x)= \infty$. [/mm] |
So,
also ich bin ein bisschen sauer auf die Aufgabe.
Habe nämlich die Aufgabe zur Hälfte ohne diese Anleitung geschafft.
Jetzt wurde mir gesagt, dass wir die Aufgabe mit der Anleitung beweisen sollen.
Die ist jedoch ein bisschen heftig, da ich nicht genau weiss wie der Induktionsschritt hier eingesetzt werden soll, und was Ableitungen damit zu tun haben sollen ???
Ich bräuchte hier echt mal Hilfe bei.
Danke schön.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Beginne so, wie es in der Aufgabenstellung angedacht wird: leite die gegebene Funktion ab und bestimme $x$ so, dass ihr Wert minimal wird. Setze $x$ dann in die Funktion ein, um den Minimalwert zu erhalten. Diesen Minimalwert minimierst du nochmal durch Variation der [mm] $a_i$ [/mm] unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und betrachtest $x$ für diese speziellen [mm] $a_i$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 So 22.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Also
wenn ich die Funktion ableite, dann kommt bei mir folgendes raus:
$f'(x)=( [mm] \bruch{1}{n+1})^{n+1}-a_{1}*...*a_{n}$
[/mm]
Das heisst, dass $f''(x)=0$, da $f'(x)$ dann ja eine konstante ist, hängt ja nicht mehr von x ab.
Deshalb gibt es doch kein minima. und vor allem keinen minimalen Wert x.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> $ f'(x)=( [mm] \bruch{1}{n+1})^{n+1}-a_{1}\cdot{}...\cdot{}a_{n} [/mm] $
Das ist nicht richtig ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") .
Zum Ableiten von [mm] $x\mapsto \left(\frac{\sum a_i+x}{n+1}\right)^{n+1}-\prod a_i\cdot [/mm] x$ musst du für den ersten Summanden Ketten- und Potenzregel anwenden.
Es ergibt sich dann
$f'(x) = [mm] (n+1)\cdot\frac{1}{n+1}\left(\frac{\sum a_i+x}{n+1}\right)^n [/mm] - [mm] \prod a_i [/mm] = [mm] \left(\frac{\sum a_i+x}{n+1}\right)^n [/mm] - [mm] \prod a_i$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:22 So 22.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ok,
danke schon mal.
Dann lautet also die zweite Ableitung
$f''(x)=\bruch{n}{n+1}*( \bruch{ \summe_{j=0}^{n}a_{j}+x}{n+1})^{n-1}$
Naja,Also muss ich jetzt ein minimales x finden.
Also
$f'(x)=0= (\bruch{\summe_{j=1}^{n}a_{j}+x}{n+1})^{n}- \prod a_i $
$ \gdw x=(n+1)* \wurzel[n]{ \produkt_{j=1}^{n}a_{j}}- \summe_{j=1}^{n}a_{j}$
Also einsetzen in Funktionsgleichung:
$f(x)=(\bruch{ \summe_{j=1}^{n}a_{j}+x}{n+1})^{n+1}- \produkt_{j=1}^{n}a_{j}*x$
\Rightarrow
$f(x)=(\bruch{ \summe_{j=1}^{n}a_{j}+(n+1)* \wurzel[n]{ \produkt_{j=1}^{n}a_{j}}- \summe_{j=1}^{n}a_{j}}{n+1})^{n+1}- \produkt_{j=1}^{n}a_{j}*((n+1)* \wurzel[n]{ \produkt_{j=1}^{n}a_{j}}- \summe_{j=1}^{n}a_{j})=$
$f(x)=(\produkt_{j=1}^{n}a_{j})^{n+1} - \produkt_{j=1}^{n}a_{j} * ((n+1)* \wurzel[n]{ \produkt_{j=1}^{n}a_{j}}- \summe_{j=1}^{n}a_{j}})=$
$f(x)=(\produkt_{j=1}^{n}a_{j})^{n} * \produkt_{j=1}^{n}a_{j}-\produkt_{j=1}^{n}a_{j}*((n+1) * \wurzel[n]{ \produkt_{j=1}^{n}a_{j}}- \summe_{j=1}^{n}a_{j})=$
$f(x)= \produkt_{j=1}^{n}a_{j} * \wurzel[n]{\produkt_{j=1}^{n}a_{j}} - \produkt_{j=1}^{n}a_{j} * n * \wurzel[n]{\produkt_{j=1}^{n}a_{j}} - \produkt_{j=1}^{n}a_{j}+\wurzel[n]{\produkt_{j=1}^{n}a_{j}}+ \produkt_{j=1}^{n}a_{j}* \summe_{j=1}^{n}a_{j}
=$
$ \produkt_{j=1}^{n}a_{j} * ( \summe_{j=1}^{n}a_{j} - n * \wurzel[n]{\produkt_{j=1}^{n}a_{j}})
(Ind.Vor.)
\le \produkt_{j=1}^{n}a_{j} * (\summe_{j=1}^{n}a_{j} - n * \bruch{\summe_{j=1}^{n}a_{j}}{n})
=$
\produkt_{j=1}^{n}a_{j}*(\summe_{j=1}^{n}a_{j}-\summe_{j=1}^{n}a_{j})
$=\produkt_{j=1}^{n}a_{j}*0=0$
$\Rightarrow$
$f(x) \le 0$ $\forall x \in \IR$
\Rightarrow
Da $f(x) \le 0$ und nach Ind.Vor.:
$ \wurzel[n]{a_{1}\cdot{}...\cdot{}a_{n}} \le \bruch{a_{1}+...+a_{n}}{n} $
\Rightarrow $ \wurzel[n]{a_{1}\cdot{}...\cdot{}a_{n}} - \bruch{a_{1}+...+a_{n}}{n} \le 0 $
\Rightarrow
$f(x)=0 : \gwd a_{j}=a_{k}$ $\forall j \not=k$ mit $j,k=1,...,n$
Ich weiss, das ist ne Menge, aber ist da soweit richtig ??
Stimmt das dann also Induktion ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Mi 25.01.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo DeusRa!
Leider konnte dir keiner, innerhalb der von dir vorgegebenen Zeit antworten. Nun muss ich deine Frage für Interessierte markieren.
Falls ich die Fälligkeit verlängern sollte, schreibe bitte eine private Nachricht an mich!
Vielleicht hast du nächstes Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Mit freundlichen Grüßen
PStefan
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