Argument einer komplexen Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Do 16.10.2008 | | Autor: | Centaur |
| Aufgabe | | Bestimme das Argument von: [mm] \lambda [/mm] := [mm] \bruch{\cos(\bruch{1}{2}k\Delta x) - i\nu \sin(\bruch{1}{2}k\Delta x)}{\cos(\bruch{1}{2}k\Delta x) + i\nu \sin(\bruch{1}{2}k\Delta x)} [/mm] mit [mm] i=\wurzel{-1} [/mm] |
Hallo!
Ich bin gerade dabei einen mathematischen Text nachzuvollziehen und bin auf obiges Problem gestoßen. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Die Lösung ist zwar angegeben:
[mm] arg(\lambda) [/mm] = [mm] -2\arctan(\nu \tan(\bruch{1}{2}k\Delta [/mm] x)).
Ich würde allerdings das Ergebnis sehr gern eigenständig nachvollziehen und komme hierbei nicht weiter.
Ich habe schon eingesehen, dass [mm] |\lambda| [/mm] = 1 und das (für y:= [mm] \bruch{1}{2}k\Delta [/mm] x):
[mm] Re(\lambda) [/mm] = [mm] \bruch{\cos^2(y) - \nu^2\sin^2(y)}{\cos^2(y) + \nu^2\sin^2(y)}
[/mm]
und
[mm] Im(\lambda) [/mm] = - [mm] \bruch{2\nu \cos(y)\sin(y)}{\cos^2(y) + \nu^2\sin^2(y)}
[/mm]
Jetzt habe ich versucht die [mm] \arccos-Formel [/mm] für das Argument zu nutzen (http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Von_der_Polarform_in_die_algebraische_Form) und habe:
[mm] \Phi =\begin{cases} \arccos(Re(\lambda)), & \mbox{für } Im(\lambda) \ge 0 \\ -\arccos(Re(\lambda)), & \mbox{für } Im(\lambda) < 0 \end{cases}
[/mm]
Wenn ich mich nicht täusche gilt:
[mm] Im(\lambda) \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [0,\bruch{\pi}{2}] \cup [-\pi,-\bruch{\pi}{2}]
[/mm]
und
[mm] Im(\lambda) [/mm] < 0 [mm] \gdw [/mm] y [mm] \in (-\bruch{\pi}{2},0) \cup (\bruch{\pi}{2},\pi)
[/mm]
Nun habe ich versucht (nach Division durch [mm] \cos^2(y) [/mm] im Argument des [mm] \arccos) [/mm] zwei trigonometrische Formeln, die ich in der Papula-Formelsammlung gefunden habe, zu verwenden:
(1) [mm] \arccos [/mm] x = arccot [mm] (\bruch{x}{\wurzel{1 - x^2}})
[/mm]
(2) arccot x = [mm] \begin{cases} \arctan(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x > 0\\ \arctan(\bruch{1}{x}) + \pi, & \mbox{für } x < 0\end{cases}
[/mm]
Dann erhalte ich einen Ausdruck mit vier Fallunterscheidungen, bei dem ich nicht erkennen kann, dass er mit der oben genannten Lehrbuchlösung übereinstimmen soll.
Jetzt bin ich am Überlegen: Gibt es vielleicht einen Trick, mit dem man die Lösung schon wesentlich schneller sieht? Oder habe ich vielleicht sogar etwas Offensichtliches übersehen oder falsch gemacht?
Ich bin für jeden Hinweis sehr dankbar und habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Viele Grüße vom Centaur!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Do 16.10.2008 | | Autor: | adlerbob |
Kann es sein, dass du die Aufgabe falsch eingetippt hast?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Do 16.10.2008 | | Autor: | Centaur |
> Kann es sein, dass du die Aufgabe falsch eingetippt hast?
Du hast Recht, im Nenner sollte ein "+" stehen. Ich hab's jetzt korrigiert.
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Hallo Centaur,
> Bestimme das Argument von: [mm]\lambda[/mm] :=
> [mm]\bruch{\cos(\bruch{1}{2}k\Delta x) - i\nu \sin(\bruch{1}{2}k\Delta x)}{\cos(\bruch{1}{2}k\Delta x) + i\nu \sin(\bruch{1}{2}k\Delta x)}[/mm]
> mit [mm]i=\wurzel{-1}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich bin gerade dabei einen mathematischen Text
> nachzuvollziehen und bin auf obiges Problem gestoßen. Ich
> würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte. Die Lösung ist zwar angegeben:
>
> [mm]arg(\lambda)[/mm] = [mm]-2\arctan(\nu \tan(\bruch{1}{2}k\Delta[/mm] x)).
>
> Ich würde allerdings das Ergebnis sehr gern eigenständig
> nachvollziehen und komme hierbei nicht weiter.
>
> Ich habe schon eingesehen, dass [mm]|\lambda|[/mm] = 1 und das (für
> y:= [mm]\bruch{1}{2}k\Delta[/mm] x):
>
> [mm]Re(\lambda)[/mm] = [mm]\bruch{\cos^2(y) - \nu^2\sin^2(y)}{\cos^2(y) + \nu^2\sin^2(y)}[/mm]
>
> und
>
> [mm]Im(\lambda)[/mm] = - [mm]\bruch{2\nu \cos(y)\sin(y)}{\cos^2(y) + \nu^2\sin^2(y)}[/mm]
>
> Jetzt habe ich versucht die [mm]\arccos-Formel[/mm] für das Argument
> zu nutzen
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Von_der_Polarform_in_die_algebraische_Form)
> und habe:
>
> [mm]\Phi =\begin{cases} \arccos(Re(\lambda)), & \mbox{für } Im(\lambda) \ge 0 \\ -\arccos(Re(\lambda)), & \mbox{für } Im(\lambda) < 0 \end{cases}[/mm]
>
> Wenn ich mich nicht täusche gilt:
>
> [mm]Im(\lambda) \ge[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in [0,\bruch{\pi}{2}] \cup [-\pi,-\bruch{\pi}{2}][/mm]
>
> und
>
> [mm]Im(\lambda)[/mm] < 0 [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in (-\bruch{\pi}{2},0) \cup (\bruch{\pi}{2},\pi)[/mm]
>
> Nun habe ich versucht (nach Division durch [mm]\cos^2(y)[/mm] im
> Argument des [mm]\arccos)[/mm] zwei trigonometrische Formeln, die
> ich in der Papula-Formelsammlung gefunden habe, zu
> verwenden:
>
> (1) [mm]\arccos[/mm] x = arccot [mm](\bruch{x}{\wurzel{1 - x^2}})[/mm]
> (2)
> arccot x = [mm]\begin{cases} \arctan(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x > 0\\ \arctan(\bruch{1}{x}) + \pi, & \mbox{für } x < 0\end{cases}[/mm]
>
> Dann erhalte ich einen Ausdruck mit vier
> Fallunterscheidungen, bei dem ich nicht erkennen kann, dass
> er mit der oben genannten Lehrbuchlösung übereinstimmen
> soll.
>
> Jetzt bin ich am Überlegen: Gibt es vielleicht einen Trick,
> mit dem man die Lösung schon wesentlich schneller sieht?
> Oder habe ich vielleicht sogar etwas Offensichtliches
> übersehen oder falsch gemacht?
Stelle Zähler und Nenner von [mm]\lambda[/mm] im ![[]](/images/popup.gif) Polarform dar:
[mm]r_{1}e^{i\varphi_{1}}=r_{1}*\cos\left(\varphi_{1}\right)+i*r_{1}*\sin\left(\varphi_{1}\right)=\cos\left(y\right)-i \nu \sin\left(y\right)[/mm]
[mm]r_{2}e^{i\varphi_{2}}=r_{2}*\cos\left(\varphi_{2}\right)+i*r_{2}*\sin\left(\varphi_{2}\right)=\cos\left(y\right)+i \nu \sin\left(y\right)[/mm]
Die Division komplexer Zahlen führt man üblicherweise in der Polarform durch:
[mm]\lambda=\bruch{r_{1}*e^{i*\varphi_{1}}}{r_{2}*e^{i*\varphi_{2}}}=\bruch{r_{1}}{r_{2}}*e^{i*\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}[/mm]
Das Argument von [mm]\lambda[/mm] ist demnach die Differenz der Argumente von Zähler und Nenner.
[mm]arg(\lambda)=\varphi_{1}-\varphi_{2}[/mm]
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> Ich bin für jeden Hinweis sehr dankbar und habe diese Frage
> in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Viele Grüße vom Centaur!
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Centaur |
Vielen Dank fürs Augen öffnen - da hätte ich in der Tat schon früher draufkommen können! Danke!
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