Archimedische Spirale < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:29 Do 20.11.2014 | | Autor: | Matrix5 |
Ich habe folgende Aufgabe aus einem Rätsel: Ich laufe eine archimedische Spirale mit einem Windungsabstand von 1 Meter und lege dabei spiralförmig eine Strecke von 2000 Metern zurück. Wie viele Meter wären es gewesen, wenn ich zwischen Anfangs- und Endpunkt auf dem kürzesten Weg gelaufen wäre, d.h. wie groß ist der Durchmesser der Spirale?
Ich vermute, dass ich den Durchmesser nicht direkt berechnen kann, sondern dass ich zuerst die Anzahl der Umläufe (also den gesamten Drehwinkel) berechnen muss. Aber trotz verschiedener Formeln bekomme ich das nicht hin. Wer hilft mir? Vielen Dank!
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> Ich habe folgende Aufgabe aus einem Rätsel: Ich laufe eine
> archimedische Spirale mit einem Windungsabstand von 1 Meter
> und lege dabei spiralförmig eine Strecke von 2000 Metern
> zurück. Wie viele Meter wären es gewesen, wenn ich
> zwischen Anfangs- und Endpunkt auf dem kürzesten Weg
> gelaufen wäre, d.h. wie groß ist der Durchmesser der
> Spirale?
>
> Ich vermute, dass ich den Durchmesser nicht direkt
> berechnen kann, sondern dass ich zuerst die Anzahl der
> Umläufe (also den gesamten Drehwinkel) berechnen muss.
> Aber trotz verschiedener Formeln bekomme ich das nicht hin.
> Wer hilft mir? Vielen Dank!
Hallo Matrix5,
zuerst mal würde ich sagen: es kommt drauf an, wo auf
der Spirale man da zu laufen beginnt ! Wenn darüber in
der Aufgabenstellung nichts gesagt wird, gibt es (unendlich)
viele mögliche Lösungen.
Zweitens eine Bemerkung zum Begriff "Windungsabstand":
im Gegensatz zur oft gehörten und immer wiederholten
"Definition", die Archimedische Spirale sei eine Kurve mit
konstantem Windungsabstand ist diese scheinbare Definition
geometrisch gesehen nicht wirklich haltbar.
Ich vermute, dass im Rätsel auch diese eigentlich falsche
Definition zugrundegelegt ist, und dass der Anfang des
Weges im Nullpunkt eines Koordinatensystems liegen soll,
dem "Zentrum" der Spirale.
Nun kommt es noch darauf an, ob im Rätsel eine exakte
Lösung gefragt ist oder ob vielleicht auch eine nicht ganz
so feine Abschätzung genügt. Für eine ungefähre Lösung
könnte man z.B. die Spirale durch eine Schar von konzent-
rischen Kreisen (mit konstantem Kreisabstand 1m) betrachten,
die zusammen in etwa gleich lang sind wie die Spirale.
Für eine genauere Rechnung betrachtet man ein Integral
für die Kurvenlänge, in dem man die Spirale durch ihre
Polardarstellung der Form r(t)=A*t darstellt. A ist eine
Konstante, die so zu berechnen ist, dass die Sache mit
dem (vermeintlich) konstanten Windungsabstand wenigstens
für genügend große Werte von t (bzw. für $\ [mm] t\to\infty)$
[/mm]
passt.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Do 20.11.2014 | | Autor: | Matrix5 |
Vielen Dank erst mal für die Antwort. In der Tat bin ich davon ausgegangen, dass ein konstanter Windungsabstand ein allgemeingültiges Merkmal einer archimedischen Spirale sei. Basieren denn nicht auch die Formeln auf dieser Annahme?
Bei der Aufgabe war noch eine Skizze, die mir jetzt allerdings nicht im Original vorliegt. Gegeben war die Länge der blauen Spirallinie (2000 m) und der Windungsabstand von 1 m. Ich meine, dass Anfang und Ende so wie auf dieser Skizze jeweils auf der x-Achse lagen. Gesucht ist die Länge der roten Linie.
Es war der Aufgabenstellung nicht zu entnehmen, ob man die Lösung exakt berechnen kann oder ob ein Näherungswert reicht.
[img]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Fr 21.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
in wiki findest du alle nötigen Formeln um selbst zu integrieren oder die fertige Formel ui über nehmen, das a
in y=a*t*cos(t), y=a*t*sin(t) bestimmst du so das nach einem Umlauf der 1m erreicht ist,
Gruß leduart
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> Vielen Dank erst mal für die Antwort. In der Tat bin ich
> davon ausgegangen, dass ein konstanter Windungsabstand ein
> allgemeingültiges Merkmal einer archimedischen Spirale
> sei. Basieren denn nicht auch die Formeln auf dieser
> Annahme?
Beachte im ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel auch den Abschnitt:
"Diese besondere Eigenschaft der archimedischen Spirale wird
oft so ausgedrückt, dass ihr Windungsabstand konstant sei.
Diese Sprechweise kann allerdings leicht missverstanden werden,
da es sich hier nicht um einen konstanten Abstand zwischen
Kurven im Sinne von Parallelkurven handelt. Eine Spirale,
deren Windungen tatsächlich konstanten Abstand in letzterem
Sinn haben, wäre die Kreisevolvente."
(welcher übrigens von mir eingefügt wurde ...).
In deinem Bild ist übrigens der Fehler bei der "üblichen"
Auffassung des vermeintlich konstanten "Windungsabstandes"
der Archimedischen Spirale sehr gut illustriert. Was nämlich
bei deiner Aufgabe jeweils exakt 1 Meter messen soll, sind
die Abschnitte auf dem rot markierten direkten Weg der
x-Achse entlang. Die Schnittpunkte der Spirale mit der
x-Achse liegen der Reihe nach bei x=0 , x=1 , x=2 ,
x=3 , x=4 , x=5 , ....
Beachte aber, dass die x-Achse die Spirale in diesen
Schnittpunkten nicht rechtwinklig schneidet !
Die Strecke, die du in deiner Zeichnung zusätzlich
(feiner Strich, schwarz) eingezeichnet und mit "1 Meter"
angeschrieben hast, wäre der eigentliche Windungs-
abstand, der zu den blauen Spiralwindungen tatsächlich
senkrecht steht. Die Längenangabe "1 Meter" stimmt aber
eben nicht. Wenn die roten Teilstrecken auf der x-Achse
1 m lang sind, so ist dieser "wahre Windungsabstand"
stets kürzer und zudem variabel !
Die Spirale, die wirklich die Eigenschaft des konstanten
Windungsabstandes im geometrisch korrekten Sinn hat,
ist eine andere Kurve als die Archimedische Spirale,
nämlich die Kreisevolvente.
Noch eine letzte Bemerkung zu deiner Aufgabenstellung:
Man liest dort:
Wie viele Meter wären es gewesen, wenn ich zwischen
Anfangs- und Endpunkt auf dem kürzesten Weg gelaufen
wäre, d.h. wie groß ist der Durchmesser der Spirale? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Da wird mit "Durchmesser" offenbar etwas anderes als
das bezeichnet, was man normalerweise den Durchmesser
einer ebenen Figur nennt ...
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 28.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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