Anzahl gemeinsamer Punkte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Niaga |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=(lnx-t)²
Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte der Schaubilder f und f' |
Moin!
Mein Problem ist folgendes:
Ich habe die Ableitung von f(x) schon ausgerechnet.
f'(x)=(2(lnx-t))/x
nun habe ich f(x) und f'(x) gleichgesetzt. Die Gleichung ist nicht auflösbar.
Ich weiß, dass die Nullstelle gleich dem Tiefpunkt ist, habe also schon einen gemeinsamen Punkt.
Reicht es, wenn ich die Ableitung zeichne und anhand der Skizze sage, dass nur zwei gemeinsame Punkte existieren? Das müsste doch theoretisch reichen, oder?
Danke,
Niaga
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Mo 30.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Niaga
Eine Zeichnung hilft hier ohne Argumente nicht, da du ja nur für ein oder einige t das Zeichnen kannst!
du musst schon [mm] (lnx-t)^{2}-2*(lnx-t)/x=0
[/mm]
daraus (lnx-t)*(lnx-t-1/x)=0
damit die möglichen Lösungen :(lnx-t)=0 [mm] x=e^{t} [/mm] nur eine Lösung!
und (lnx-t-1/x)=0 für diese musst du nun argumentieren, wieviel lösungen es gibt. lnx=1/x+t lnx steigt monoton von [mm] -\infty [/mm] bei x=0 bis [mm] \+infty [/mm] bei x gegen [mm] \infty.
[/mm]
1/x+t fällt monoton von [mm] +\infty [/mm] bei x=0 bis t bei x gegen [mm] \infty. [/mm] d.h. die 2 graphen müssen sich schneiden, und tun das wegen der Monotonie nur einmal!
Also unabh. von t immer 2 Schnittpunkte, nur deren Lage hängt von t ab.
(Zeichnen ist immer gut, aber dann musst du aus der Zeichnung Argumente ablesen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, leduart,
kann Dir bei Deiner Argumentation nur zustimmen!
Ein Flüchtigkeitsfehler soll dem keinen Abbruch tun.
Es muss heißen:
(ln(x) - t)*(ln(x) - t - [mm] \bruch{2}{x}) [/mm] = 0
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Di 31.01.2006 | | Autor: | Niaga |
Mhm, das hört sich sinnig an. Daran habe ich auch so ungefähr gedacht. Ich habe aber leider vergessen zu sagen, dass x>0 sein muss.
Um nochmal sicher zu gehen, ob ich das richtig verstanden habe:
ich habe jetzt zu stehen:
lnx=2/x+t
und ich untersuche was die terme links und rechts vom Gleicheitszeichen machen, wenn ich gegen [mm] \infty [/mm] gehe?
Dabei wird herauskommen, dass der eine Term fällt und der andere steigt, und deshalb müssen sie irgendwann mal gleich groß werden? Und das ist der Beweis dafür, dass es zwei gemeinsame Punkte geben wird?
Niaga
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Hi, Niagra,
> Mhm, das hört sich sinnig an. Daran habe ich auch so
> ungefähr gedacht. Ich habe aber leider vergessen zu sagen,
> dass x>0 sein muss.
Das leuchtet bei ln(x) auf Anhieb ein!
> Um nochmal sicher zu gehen, ob ich das richtig verstanden
> habe:
> ich habe jetzt zu stehen:
> lnx=2/x+t
>
> und ich untersuche was die terme links und rechts vom
> Gleicheitszeichen machen, wenn ich gegen [mm]\infty[/mm] gehe?
> Dabei wird herauskommen, dass der eine Term fällt und der
> andere steigt, und deshalb müssen sie irgendwann mal gleich
> groß werden? Und das ist der Beweis dafür, dass es zwei
> gemeinsame Punkte geben wird?
Natürlich nur deshalb, weil der eine Graph eine waagrechte Asymptote hat (y=t), der er beliebig nahe kommt, der andere Graph (also derjenige von y=ln(x)) diese Asymptote aber auf jeden Fall schneidet und rechts von diesem Schnittpunkt über dieser Geraden liegt: ln(x) > t für x > [mm] e^{t}.
[/mm]
Demnach gibt es rechts von [mm] x=e^{t} [/mm] einen zweiten Schnittpunkt.
mfG!
Zwerglein
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Genau, da beide Funktionsterme auch monoton sind (der eine monoton steigend, der andere monoton fallend).
