Anzahl der Möglichkeiten Käfer < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Sa 18.04.2015 | | Autor: | Audin |
| Aufgabe | In einem Käfig befinden sich (unterscheidbare) männliche und weibliche Käfer mit blauen und grünen Flügeln.
Es werden vier Käfer entnommen, zwei Weibchen und zwei Männchen. Sowohl bei den Männchen als auch von den Weibchen werden jeweils eines mit blauen und eines mit grünen Flügeln entnommen. Es stehen fünf Kästchen bereit.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Käfer auf die fünf Kästchen zu verteilen, wenn:
a) jedes Kästchen höchstens einen Käfer enthalten darf?
b) jedes Kästchen beliebig viele Käfer enthalten darf? |
Also meine Überlegungen zu der Aufgabenstellung lauten momentan wie folgt.
Wir haben vier unterscheidbare Käfer. Ein männlichen mit grünen; ein männlichen mit blauen; ein weiblichen mit grünen und ein weiblichen mit blauen Flügeln. Desweiiteren sind auch leere Boxen erlaubt, immerhin haben wir nur 4-Käfer aber 5-Boxen. Eine Box bleibt also stets leer. Die Reihenfolge ist stehts wichtig. Es handelt sich also immer um ziehen mit Berücksichtung der Reihenfolge.
Dabei handelt es sich auch stets um ziehen ohne zurücklegen mit einer Ausnahme, die leere Menge. Sie ist das einzigste Element welches häufiger Auftreten darf.
a) In jedem Kästchen dürfen höchstens ein Käfer. Die vier Käfer auf 5-Boxen zu verteilen dürfte kein Problem sein. Das müssten 5! Möglichkeiten sein.
Zunähst hab ich für jeden Käfer 5-Möglichkeiten, dann 4; dann 3 usw.
Die Frage ist nun noch, was ist mit der anordnugn der leeren Boxen. Wieviele Möglichkeiten gibt es. Und genau da hab ich große Probleme. Müssten es nicht auch dort wieder 5!-Möglichkeiten sein?
Am Anfang hab ich 5-Boxen die alle leer sein können, dann nur noch vier, dann nur noch drei usw.
Dann hätte ich insgesamt 5!*5! Möglichkeiten.
b) Nun darf jedes Kästchen mehr als nur einen Käfer enthalten. Die Reihenfolge spielt eine Rolle. Es macht eine Unterschied ob die Käfer in der ersten oder in der letzten Box sind. Außerdem handelt es sich um ziehen ohne zurücklegen (wenn man mal von der leeren Menge absieht).
Es gibt folgende Fälle die eintreten können.
1) In jeder Box ist nur ein Käfer, also 5!
2) In einer Box sind 4-Käfer, das sind 5-Möglichkeiten
3) Anzahl der Möglichkeiten leere Boxen 5!
4) Es gibt in einer Box zwei Käfer.
5) Es gibt eine Box mit zwei und eine mit jeweils 1 Käfer (oder auch zwei mit einem) usw.
Erstmal würde ich aber gerne Wissen ob zumindest die a) stimmt. Ich tu mir super schwer hier ein passendes Modell zu finden.
Das Problem ist schon allein das ich vier Käfer auf 5-Boxen zuweisen muss.
Wären damit in meiner Urne nicht vier elmente und ich würde 5-mal ziehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Sa 18.04.2015 | | Autor: | chrisno |
> In einem Käfig befinden sich (unterscheidbare) männliche
> und weibliche Käfer mit blauen und grünen Flügeln.
> Es werden vier Käfer entnommen, zwei Weibchen und zwei
> Männchen. Sowohl bei den Männchen als auch von den
> Weibchen werden jeweils eines mit blauen und eines mit
> grünen Flügeln entnommen. Es stehen fünf Kästchen
> bereit.
> Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Käfer auf die fünf
> Kästchen zu verteilen, wenn:
>
> a) jedes Kästchen höchstens einen Käfer enthalten darf?
> b) jedes Kästchen beliebig viele Käfer enthalten darf?
>
> Also meine Überlegungen zu der Aufgabenstellung lauten
> momentan wie folgt.
> Wir haben vier unterscheidbare Käfer. Ein männlichen mit
> grünen; ein männlichen mit blauen; ein weiblichen mit
> grünen und ein weiblichen mit blauen Flügeln.
> Desweiiteren sind auch leere Boxen erlaubt, immerhin haben
> wir nur 4-Käfer aber 5-Boxen. Eine Box bleibt also stets
> leer.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich verstehe es so es gibt Käfer K1, K2, K3, K4 und Boxen B1, B2, B3, B4 und B5. Die sind also auch unterscheidbar, zum Beispiel, weil sie nebeneinander stehen und auch so stehen bleiben.
> Die Reihenfolge ist stehts wichtig.
Welche Reihenfolge, warum?
> Es handelt sich
> also immer um ziehen mit Berücksichtung der Reihenfolge.
> Dabei handelt es sich auch stets um ziehen ohne
> zurücklegen mit einer Ausnahme, die leere Menge. Sie ist
> das einzigste Element welches häufiger Auftreten darf.
Du verteilst die Käfer, wenn Du keinen mehr hast, ist Schluss. Es stimmt, dass es leere Kästchen gibt, aber wenn Du nun formal mit der leeren Menge argumentierst, dann muss auch der Rest formaler aufgeschrieben werden.
>
> a) In jedem Kästchen dürfen höchstens ein Käfer. Die
> vier Käfer auf 5-Boxen zu verteilen dürfte kein Problem
> sein. Das müssten 5! Möglichkeiten sein.
> Zunähst hab ich für jeden Käfer 5-Möglichkeiten, dann
> 4; dann 3 usw.
Für den letzten also zwei und daher passt es mit der Fakultät, weil nur noch ein Faktor 1 dazu kommt. Wie ist es mit 6 Kästchen?
Das Wort "jeden" irritiert mich. Wenn Du anfängst, die Käfer zu verteilen, musst Du einen nehmen. Dann kannst Du Dir ein Kästchen aussuchen und ihn hineinstecken. Dieser Käfer ist dann weg und Du nimmst den nächsten. Es stimmt, dass es egal ist, mit welchem Käfer Du anfängst. Das Ergebnis ist aber immer das Gleiche.
>
> Die Frage ist nun noch, was ist mit der anordnugn der
> leeren Boxen. Wieviele Möglichkeiten gibt es. Und genau da
> hab ich große Probleme. Müssten es nicht auch dort wieder
> 5!-Möglichkeiten sein?
>
> Am Anfang hab ich 5-Boxen die alle leer sein können, dann
> nur noch vier, dann nur noch drei usw.
>
> Dann hätte ich insgesamt 5!*5! Möglichkeiten.
Du kannst nicht zuerst die Käfer auf die Boxen verteilen und danach wieder die Boxen verteilen. Welche Box frei ist, ergibt sich aus der Verteilung der Käfer.
>
>
> b) Nun darf jedes Kästchen mehr als nur einen Käfer
> enthalten. Die Reihenfolge spielt eine Rolle. Es macht eine
> Unterschied ob die Käfer in der ersten oder in der letzten
> Box sind. Außerdem handelt es sich um ziehen ohne
> zurücklegen (wenn man mal von der leeren Menge absieht).
>
> Es gibt folgende Fälle die eintreten können.
>
> 1) In jeder Box ist nur ein Käfer, also 5!
Möglichkeiten. (eine leere Box)
> 2) In einer Box sind 4-Käfer, das sind 5-Möglichkeiten
(4 leere Boxen), aber ich ziehe ein systematischeres Vorgehen vor. Dann wären nun die Fälle mit zwei leeren Boxen dran gewesen.
> 3) Anzahl der Möglichkeiten leere Boxen 5!
Dies passt nun gar nicht. Was meinst Du damit? Das scheint mit Deinem Gedanken (5!*5!) zu tun zu haben.
> 4) Es gibt in einer Box zwei Käfer.
(zwei leere Boxen)
> 5) Es gibt eine Box mit zwei und eine mit jeweils 1 Käfer
> (oder auch zwei mit einem) usw.
(drei leere Boxen mit Aufteilung in Unterfälle)
>
> Erstmal würde ich aber gerne Wissen ob zumindest die a)
> stimmt. Ich tu mir super schwer hier ein passendes Modell
> zu finden.
> Das Problem ist schon allein das ich vier Käfer auf
> 5-Boxen zuweisen muss.
>
> Wären damit in meiner Urne nicht vier elmente und ich
> würde 5-mal ziehen?
Zieh die Boxen aus der Urne. Für Käfer 1 ziehe ich eine Box. Dann für Käfer 2, ....
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 So 19.04.2015 | | Autor: | Audin |
> > In einem Käfig befinden sich (unterscheidbare) männliche
> > und weibliche Käfer mit blauen und grünen Flügeln.
> > Es werden vier Käfer entnommen, zwei Weibchen und zwei
> > Männchen. Sowohl bei den Männchen als auch von den
> > Weibchen werden jeweils eines mit blauen und eines mit
> > grünen Flügeln entnommen. Es stehen fünf Kästchen
> > bereit.
> > Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Käfer auf die fünf
> > Kästchen zu verteilen, wenn:
> >
> > a) jedes Kästchen höchstens einen Käfer enthalten darf?
> > b) jedes Kästchen beliebig viele Käfer enthalten
> darf?
> >
> > Also meine Überlegungen zu der Aufgabenstellung lauten
> > momentan wie folgt.
> > Wir haben vier unterscheidbare Käfer. Ein männlichen
> mit
> > grünen; ein männlichen mit blauen; ein weiblichen mit
> > grünen und ein weiblichen mit blauen Flügeln.
> > Desweiiteren sind auch leere Boxen erlaubt, immerhin haben
> > wir nur 4-Käfer aber 5-Boxen. Eine Box bleibt also stets
> > leer.
>
> Ich verstehe es so es gibt Käfer K1, K2, K3, K4 und Boxen
> B1, B2, B3, B4 und B5. Die sind also auch unterscheidbar,
> zum Beispiel, weil sie nebeneinander stehen und auch so
> stehen bleiben.
> > Die Reihenfolge ist stehts wichtig.
> Welche Reihenfolge, warum?
Damit meinte ich die Reihenfolge wie ich die Käfer in die Boxen packe. Es macht einen Unterschied ob ich in der ersten Box B1, den Käfer K1 oder K2 reinpacke. Immerhin sind die Käfer ja unterscheidbar.
> > Es handelt sich
> > also immer um ziehen mit Berücksichtung der Reihenfolge.
> > Dabei handelt es sich auch stets um ziehen ohne
> > zurücklegen mit einer Ausnahme, die leere Menge. Sie ist
> > das einzigste Element welches häufiger Auftreten darf.
> Du verteilst die Käfer, wenn Du keinen mehr hast, ist
> Schluss. Es stimmt, dass es leere Kästchen gibt, aber wenn
> Du nun formal mit der leeren Menge argumentierst, dann muss
> auch der Rest formaler aufgeschrieben werden.
> >
> > a) In jedem Kästchen dürfen höchstens ein Käfer. Die
> > vier Käfer auf 5-Boxen zu verteilen dürfte kein Problem
> > sein. Das müssten 5! Möglichkeiten sein.
> > Zunähst hab ich für jeden Käfer 5-Möglichkeiten,
> dann
> > 4; dann 3 usw.
> Für den letzten also zwei und daher passt es mit der
> Fakultät, weil nur noch ein Faktor 1 dazu kommt. Wie ist
> es mit 6 Kästchen?
> Das Wort "jeden" irritiert mich. Wenn Du anfängst, die
> Käfer zu verteilen, musst Du einen nehmen. Dann kannst Du
> Dir ein Kästchen aussuchen und ihn hineinstecken. Dieser
> Käfer ist dann weg und Du nimmst den nächsten.
Stimmt das Wort jeden 5-Möglichkeiten klingt in dem Zusammenhang echt unpassend bzw. es ist in dem Kontext falsch. Ich habe es aber genauso gemeint wie du geschrieben hast.
> Es stimmt,
> dass es egal ist, mit welchem Käfer Du anfängst. Das
> Ergebnis ist aber immer das Gleiche.
>
>
> >
> > Die Frage ist nun noch, was ist mit der anordnugn der
> > leeren Boxen. Wieviele Möglichkeiten gibt es. Und genau da
> > hab ich große Probleme. Müssten es nicht auch dort wieder
> > 5!-Möglichkeiten sein?
> >
> > Am Anfang hab ich 5-Boxen die alle leer sein können, dann
> > nur noch vier, dann nur noch drei usw.
> >
> > Dann hätte ich insgesamt 5!*5! Möglichkeiten.
> Du kannst nicht zuerst die Käfer auf die Boxen verteilen
> und danach wieder die Boxen verteilen. Welche Box frei ist,
> ergibt sich aus der Verteilung der Käfer.
Also sind es einfach 5!-Möglichkeiten? Für mich ist noch nicht ganz schlüssig warum sich aus der Verteilung der Käfer wirklich die leeren Boxen ergeben. Denn angenommen ich packe in der ersten Box keinen Käfer hinein. Dann habe ich für die zweite Box immer noch 5-Möglichkeiten. Ich kann keinen Käfer hineinpacken oder aber auch einen der 4Käfer. Die leere Box kann ja im Gegensatz zu den Käfern auch häufiger vorkommen.
Wenn dann müsste ich ja schon die Möglichkeiten berechnen dafür das in jeder Box genau ein Käfer ist. Die anzahl der Möglichkeiten das in Box 1 und 2 ein Käfer ist. Die Anzahl der Möglichkeiten das in Box 2 und 3 ein Käfer ist usw.
Es sind in jedem Fall mehr als 5! Möglichkeiten würde ich sagen
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> >
> >
> > b) Nun darf jedes Kästchen mehr als nur einen Käfer
> > enthalten. Die Reihenfolge spielt eine Rolle. Es macht eine
> > Unterschied ob die Käfer in der ersten oder in der letzten
> > Box sind. Außerdem handelt es sich um ziehen ohne
> > zurücklegen (wenn man mal von der leeren Menge absieht).
> >
> > Es gibt folgende Fälle die eintreten können.
> >
> > 1) In jeder Box ist nur ein Käfer, also 5!
> Möglichkeiten. (eine leere Box)
>
> > 2) In einer Box sind 4-Käfer, das sind 5-Möglichkeiten
> (4 leere Boxen), aber ich ziehe ein systematischeres
> Vorgehen vor. Dann wären nun die Fälle mit zwei leeren
> Boxen dran gewesen.
> > 3) Anzahl der Möglichkeiten leere Boxen 5!
> Dies passt nun gar nicht. Was meinst Du damit? Das scheint
> mit Deinem Gedanken (5!*5!) zu tun zu haben.
> > 4) Es gibt in einer Box zwei Käfer.
> (zwei leere Boxen)
> > 5) Es gibt eine Box mit zwei und eine mit jeweils 1
> Käfer
> > (oder auch zwei mit einem) usw.
> (drei leere Boxen mit Aufteilung in Unterfälle)
> >
> > Erstmal würde ich aber gerne Wissen ob zumindest die a)
> > stimmt. Ich tu mir super schwer hier ein passendes Modell
> > zu finden.
> > Das Problem ist schon allein das ich vier Käfer auf
> > 5-Boxen zuweisen muss.
> >
> > Wären damit in meiner Urne nicht vier elmente und ich
> > würde 5-mal ziehen?
> Zieh die Boxen aus der Urne. Für Käfer 1 ziehe ich eine
> Box. Dann für Käfer 2, ....
> >
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 So 19.04.2015 | | Autor: | chrisno |
> Also sind es einfach 5!-Möglichkeiten? Für mich ist noch nicht ganz schlüssig warum sich aus der Verteilung der Käfer wirklich die leeren Boxen ergeben. Denn angenommen ich packe in der ersten Box keinen Käfer hinein.
Soweit ok.
> Dann habe ich für die zweite Box immer noch 5-Möglichkeiten.
Hast Du nicht. Dies ist noch Aufgabenteil a. b kommt erst später.
> Ich kann keinen Käfer hineinpacken oder aber auch einen der 4Käfer.
nicht bei a
> Die leere Box kann ja im Gegensatz zu den Käfern auch häufiger vorkommen.
nicht bei a
> Wenn dann müsste ich ja schon die Möglichkeiten berechnen dafür das in jeder Box genau ein Käfer ist.
Das geht ja nicht, eine muss ja frei bleiben.
> Die anzahl der Möglichkeiten das in Box 1 und 2 ein Käfer ist. Die Anzahl der Möglichkeiten das in Box 2 und 3 ein Käfer ist usw.
> Es sind in jedem Fall mehr als 5! Möglichkeiten würde ich sagen
im Aufgabenteil b: ja.
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