Anzahl der Lösung einer Gl. < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Di 25.09.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Seien [mm] $a_i\in \mathbb{Z} [/mm] $
Leiten Sie eine Formel her, welche die Anzahl der Lösungen der Ungleichung [mm] $\sum_{i=1}^{6} a_i \le [/mm] 15$ ermittelt (dabei seien [mm] $a_i\ge [/mm] 0$ für alle $i$ ) |
Dazu mache ich folgende Alltagsanalogie (vielleicht führt sie eher zu einer Lösungsidee):
In sechs Laden, sollen Socken so aufgeteilt werden, dass ihre Summe maximal 15 beträgt. Dabei kommt es auf die Reihenfolge der Socken in den Laden nicht an. Es darf auch vorkommen, dass (mind.) eine Lade keinen Socken erhält.
Wie könnte ich nun vorgehen? Hat jemand tipps? Ich sehe jedenfalls nur Durchprobieren als Lösung. Vielleicht solle ich ein Programm schreiben, dass mir dies blitzschnell auflistet. Oder kann mir jemand einen Rat geben?
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> Seien [mm]a_i\in \mathbb{Z}[/mm]
> Leiten Sie eine Formel her, welche
> die Anzahl der Lösungen der Ungleichung [mm]\sum_{i=1}^{6} a_i \le 15[/mm]
> ermittelt (dabei seien [mm]a_i\ge 0[/mm] für alle [mm]i[/mm] )
> Dazu mache ich folgende Alltagsanalogie (vielleicht
> führt sie eher zu einer Lösungsidee):
> In sechs Laden, sollen Socken so aufgeteilt werden, dass
> ihre Summe maximal 15 beträgt. Dabei kommt es auf die
> Reihenfolge der Socken in den Laden nicht an. Es darf auch
> vorkommen, dass (mind.) eine Lade keinen Socken erhält.
>
> Wie könnte ich nun vorgehen? Hat jemand tipps? Ich sehe
> jedenfalls nur Durchprobieren als Lösung. Vielleicht solle
> ich ein Programm schreiben, dass mir dies blitzschnell
> auflistet. Oder kann mir jemand einen Rat geben?
Hallo clemenum,
vielleicht könnte man diese Aufgabe so angehen, dass
man sie zunächst verallgemeinert:
Wieviele Lösungen hat die Ungleichung
[mm] $\sum_{i=1}^{imax}a_i\ \le\ [/mm] smax$
mit [mm] 0\le{a_i}\le{smax} [/mm] für alle i
Dabei seien imax und smax vorgegebene ganzzahlige Werte.
Für die gesuchten Lösungsanzahlen L(imax,smax) gibt es
dann Rekursivformeln.
LG Al-Chw.
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> Seien [mm]a_i\in \mathbb{Z}[/mm]
> Leiten Sie eine Formel her, welche
> die Anzahl der Lösungen der Ungleichung [mm]\sum_{i=1}^{6} a_i \le 15[/mm]
> ermittelt (dabei seien [mm]a_i\ge 0[/mm] für alle i )
> Dazu mache ich folgende Alltagsanalogie (vielleicht
> führt sie eher zu einer Lösungsidee):
> In sechs Laden, sollen Socken so aufgeteilt werden, dass
> ihre Summe maximal 15 beträgt. Dabei kommt es auf die
> Reihenfolge der Socken in den Laden nicht an. Es darf auch
> vorkommen, dass (mind.) eine Lade keinen Socken erhält.
Hallo clemenum,
da ich etwas zweifle, ob mein erster Tipp schon
gefruchtet hat, hier noch ein zweiter:
Suche zuerst die Anzahl L(k,s) der Lösungen der Gleichung
$\ [mm] a_1+a_2+a_3+...+ a_k=s$ [/mm]
für einen vorgegebenen Summenwert s aus k Summanden.
Dazu kann man sich ein anschauliches Modell wie mit den
Socken machen. Um eine konkrete Lösung der Gleichung
darzustellen, können wir eine Reihe von s Kugeln (Symbol •) durch
(k-1) Trennwände (Symbol | ) in k Gruppen unterteilen, die ev. auch
leer sein dürfen. Die Anzahl der Kugeln in der i-ten Gruppe
steht dabei für den Summanden [mm] a_i [/mm] .
Die Frage nach der Lösung der obigen Gleichung läuft
dabei auf die Frage heraus: "auf wie viele Arten kann
man aus s Symbolen "•" und (k-1) Symbolen "|" eine
Reihe bilden ?
Hast du die Formel für L(k,s) , ist natürlich dann die
gesuchte Anzahl der Lösungen deiner Ungleichung
gegeben durch
[mm] \sum_{s=0}^{15} L(6,s) [/mm]
Hinweis: auch die Anzahl der Lösungen einer solchen
Ungleichung lässt sich direkt durch einen Binomial-
koeffizienten darstellen - also ohne Summation !
LG Al-Chw.
Leider werden die Formeln aus mir unverständlichen
Gründen nicht richtig dargestellt.
Bitte drauf klicken, um zu sehen was gemeint ist !
Werde das wenn möglich noch korrigieren, sobald
mir jemand mitgeteilt hat, was das unverständliche
Problem bei der Darstellung dieser Formeln ist ...
Nanu - plötzlich werden die Formeln doch korrekt
dargestellt - ohne dass ich daran etwas geändert habe.
Es geschehen doch noch Zeichen und Wunder ! 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Do 27.09.2012 | | Autor: | clemenum |
Hallo Al-Chwarizmi!
Vielen Dank erstmal für deine Antwort! Ich werde mich bald wieder damit auseinandersetzen und schreiben, wie sehr es mir geholfen hat! 
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