Anzahl der Elemente in End(V) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Di 08.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
| Aufgabe | Es Sei K ein endlicher Körper mit p Elementen und V ein Zweidimensionaler Vektorraum über K.
a) Wieviele Elemente hat V?
b) Wieviele Lin. Abb. von V in sich gibt es ( was ist |End(V)| )?
c)Wieviele Endomorphismen von V sind Bijektiv ( was ist |GL(V) )?
d) Geben sie für p=2 die Matrizen aller Bijektiven Endomorphismen von V an (d.h. [mm] GL_{2}(\IZ_{2})). [/mm] |
Hallo,
Zu a) bin ich mir ziemlich sicher ist die Antwort: [mm] p^2.
[/mm]
Aber bei den andern komm ich nicht drauf.
Ich habs ausprobiert für p=2 dann müsste |End(V)| = 8 und |GL(V)| = 6 sein.
Also wenn das richtig ist dann würde ich wohl d) schaffen.
Nur b) und c) verstehe ich garnicht wie das von p abhängen soll.
Also Jetzt ist mir gerade aufgefallen das |End(V)| = [mm] p^3 [/mm] passen würde zumindest für p=2 (Zufall?). Wenn nicht wie könnte man denn das begründen?
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> Es Sei K ein endlicher Körper mit p Elementen und V ein
> Zweidimensionaler Vektorraum über K.
> a) Wieviele Elemente hat V?
> b) Wieviele Lin. Abb. von V in sich gibt es ( was ist
> |End(V)| )?
> c)Wieviele Endomorphismen von V sind Bijektiv ( was ist
> |GL(V) )?
> d) Geben sie für p=2 die Matrizen aller Bijektiven
> Endomorphismen von V an (d.h. [mm]GL_{2}(\IZ_{2})).[/mm]
> Hallo,
>
> Zu a) bin ich mir ziemlich sicher ist die Antwort: [mm]p^2.[/mm]
Hallo,
ja, das ist richtig.
Bei dem folgenden, was Du schreibst, wäre es hilfreich zu wissen, wie Du was warum probiert hast, so, wie es jetzt dasteht, kann man wenig dazu sagen.
Bei b) ist es zunächst einmal wichtig, daß Dir klar ist, daß lineare Abbildungen durch ihre Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind.
Und da V zweidimensional ist, besteht so eine Basis aus zwei Elementen.
Vielleicht hilft dieser Hinweis schon etwas weiter zur Bestimmung der Anzahl der Endomorphismen.
Bei den Bijektionen mußt Du bedenken, daß die Basis auf zwei linear unabhängige Vektoren abgebildet werden muß.
Gruß v. Angela
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> Aber bei den andern komm ich nicht drauf.
> Ich habs ausprobiert für p=2 dann müsste |End(V)| = 8 und
> |GL(V)| = 6 sein.
> Also wenn das richtig ist dann würde ich wohl d) schaffen.
> Nur b) und c) verstehe ich garnicht wie das von p abhängen
> soll.
> Also Jetzt ist mir gerade aufgefallen das |End(V)| = [mm]p^3[/mm]
> passen würde zumindest für p=2 (Zufall?). Wenn nicht wie
> könnte man denn das begründen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
> Hallo,
>
> ja, das ist richtig.
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> Bei dem folgenden, was Du schreibst, wäre es hilfreich zu
> wissen, wie Du was warum probiert hast, so, wie es jetzt
> dasteht, kann man wenig dazu sagen.
>
> Bei b) ist es zunächst einmal wichtig, daß Dir klar ist,
> daß lineare Abbildungen durch ihre Werte auf einer Basis
> eindeutig bestimmt sind.
> Und da V zweidimensional ist, besteht so eine Basis aus
> zwei Elementen.
> Vielleicht hilft dieser Hinweis schon etwas weiter zur
> Bestimmung der Anzahl der Endomorphismen.
>
> Bei den Bijektionen mußt Du bedenken, daß die Basis auf
> zwei linear unabhängige Vektoren abgebildet werden muß.
>
> Gruß v. Angela
Hi
Mit ausprobieren meine ich:
Für p=2 ist V={ [mm] \vektor{0 \\ 0},\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1},\vektor{1 \\ 1} [/mm] } Dann sind die Null Abb. die (id) und 5 weitere Abbildungen Linear,
z.B.: [mm] \vektor{0 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\ 0},\vektor{1 \\ 0} \mapsto \vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1} \mapsto \vektor{1 \\ 1},\vektor{1 \\ 1} \mapsto \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
oder
[mm] \vektor{0 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\ 0},\vektor{1 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\ 1},\vektor{0 \\ 1} \mapsto \vektor{1 \\ 0},\vektor{1 \\ 1} \mapsto \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Sind dann zusammen 7 nicht 8 wie ich vorhin geschrieben hab!
Über die Basis hatte ich bisher noch garnicht nachgedacht!
Die Basis besteht aus 2 Elementen soweit klar.
f [mm] \in [/mm] End(V) ist außerhalb des Kerns injektiv, daher gibt es genau zwei Möglichkeiten die Basis auf ein Element [mm] V\setminus [/mm] { 0 } abzubilden.
(V hat [mm] p^2 [/mm] Elemente also gibt es schon [mm] ((p^2)-1)*2 [/mm] lin. Abb.
Wird ein Element der Basis auf 0 abgebildet so müssen alle Elemente auf die 0 abgebildet werden die "Nullabbildung" also ist |End(V)| = [mm] ((p^2)-1)*2 [/mm] +1
Tja aber so wirds wohl auch nicht sein oder? ist die Richtung wenigstens Richtig?
Und bei der Bijektion muss ich dann erst die Anzahl der möglichen Basen kennen, denn wenn ich eine Basis von V auf zwei lin. unabhängige Elemente von V abbilde ist das ja auch eine Basis von V! und dann währe
|GL(V)| = 2* Anzahl der Basen
Aber wie bekomme ich die raus?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Mit ausprobieren meine ich:
> Für p=2 ist V={ [mm]\vektor{0 \\ 0},\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1},\vektor{1 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
das sit richtig.
> } Dann sind die Null Abb. die (id) und 5 weitere
> Abbildungen Linear,
Wie kommst Du auf diese 5 Abbildungen? Ich finde viel mehr!
> z.B.: [mm]\vektor{0 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\ 0},\vektor{1 \\ 0} \mapsto \vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1} \mapsto \vektor{1 \\ 1},\vektor{1 \\ 1} \mapsto \vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> oder
> [mm]\vektor{0 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\ 0},\vektor{1 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\ 1},\vektor{0 \\ 1} \mapsto \vektor{1 \\ 0},\vektor{1 \\ 1} \mapsto \vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> Sind dann zusammen 7 nicht 8 wie ich vorhin geschrieben
> hab!
>
> Über die Basis hatte ich bisher noch garnicht nachgedacht!
Das solltest Du aber unbedingt tun!
>
> Die Basis besteht aus 2 Elementen soweit klar.
>
> f [mm]\in[/mm] End(V) ist außerhalb des Kerns injektiv,
Was meinst Du damit? Kann das überhaupt sein?
Nimm Dir doch einfach mal eine Basis und überlege Dir, auf wieviele Arten Du dne Basisvektoren Werte zuweisen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
> Wie kommst Du auf diese 5 Abbildungen? Ich finde viel
> mehr!
Stimmt
> > Die Basis besteht aus 2 Elementen soweit klar.
> >
> > f [mm]\in[/mm] End(V) ist außerhalb des Kerns injektiv,
>
> Was meinst Du damit? Kann das überhaupt sein?
nein natürlich nicht
> Nimm Dir doch einfach mal eine Basis und überlege Dir, auf
> wieviele Arten Du dne Basisvektoren Werte zuweisen kannst.
[mm] p^{2} [/mm] * [mm] p^{2} [/mm] = [mm] p^{4} [/mm] hatte ich sogar schon mal überlegt aber ich hab nicht gesehen das die Lin. sind, das is jetzt aber richtig oder?
OK dann zu |GL(V)| = [mm] p^{4} [/mm] - [mm] p^{2} [/mm] - [mm] (p^{2} [/mm] -1) - [mm] (p^{2} [/mm] -1)
sei B={ [mm] v_1 ,v_2 [/mm] } Basis von V.
[mm] p^{4} [/mm] weil es so viele lin. Abb. gibt
- [mm] p^{2} [/mm] bei den Abb. werden beide Basiselemente auf das selbe Element abgebildet [mm] \Rightarrow [/mm] nicht injektiv
- [mm] (p^{2} [/mm] -1) bei denn wird [mm] v_1 [/mm] auf 0 abgebildet -1 weil der fall das [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] auf 0 bagebildet werden bereits erfast ist.
- [mm] (p^{2} [/mm] -1) bei denn wird [mm] v_2 [/mm] auf 0 abgebildet -1 weil der fall das [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] auf 0 bagebildet werden bereits erfast ist.
so jetzt bin ich aber zuversichtlich das alles so stimmt.
ne ist doch falsch
was sagst du?
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> > Nimm Dir doch einfach mal eine Basis und überlege Dir, auf
> > wieviele Arten Du dne Basisvektoren Werte zuweisen kannst.
>
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> [mm]p^{2}[/mm] * [mm]p^{2}[/mm] = [mm]p^{4}[/mm] hatte ich sogar schon mal überlegt
> aber ich hab nicht gesehen das die Lin. sind, das is jetzt
> aber richtig oder?
Hallo,
ja, das ist richtig.
Das sind einfach sämtliche Arten, auf die man einer Basis Werte zuweisen kann.
Für die invertierbaren Abbildungen über lege Dir, daß die Basis wieder auf eine Basis abgebildet werden muß.
Für die Wahl des ersten Vektors hast Du [mm] p^2-1 [/mm] Möglichkeiten, denn den Nullvektor darfst Du nicht wählen.
Für die Wahl des zweiten Vektors kommen nicht alle von Null verschiedenen infrage, sondern nur die, die vom ersten linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Pawelos |
Hi
Vielen dank, hatte am ende alles richtig gehabt und auch verstanden.
Danke!!!
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