Anzahl der Abbildungen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 So 05.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Es seien m und n zwei natürliche Zahlen mit [mm] m \le n [/mm]. Sei M eine m-elementige Menge und N eine n-elementige Menge.
(a) Wie viele Abbildungen [mm] f [/mm] gibt es von [mm] M [/mm] nach [mm] N [/mm]?
(b) Wie viele injektive Abbildungen [mm] f [/mm] gibt es von [mm] M [/mm] nach [mm] N [/mm]? |
also:
zu a):
an die Abbildungen werden ja ansonsten keine weiteren Bedingungen gestellt, also gibt es jede Menge.... 
Man könnte also jedes Eement aus M dem selben Elemen aus N zuordnen. Dann gäbe es n konstante Funktionen.
Dann muss man noch die Mögichkeiten dazu addieren, die Eemente aus M je 2, je 3, je 4,..., je m Elementen aus N zuzuordnen, oder?
Aber wie kann man das aufschreiben?
zu b)
injektiv bedeutet, dass jedes Element aus N nur einmal getroffen wird.
also hab ich:
für das 1. Element aus M genau n Möglichkeiten es auf N zu schicken
für das 2. Element aus M genau n-1 Möglichkeiten es auf N zu schicken
für das 3. Element aus M genau n-2 Möglichkeiten es auf N zu schicken
...
für das m. Element aus M genau n-(m-1) Möglichkeiten es auf N zu schicken
und das ist doch : [mm] \bruch{n!}{m!} [/mm] oder?
P.S.: [mm] n![/mm] und [mm]{n \choose k}[/mm] gibt es in unserer Vorlesung noch nicht ]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine Überlegungen zu b. sind völlig in Ordnung.
Als Gesamtzahl Z der Möglichkeiten bekommst du also
Z = [mm]n*(n-1)*(n-2)* ... *(n-(m-2))*(n-(m-1))[/mm]
= [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)* ... *(n-m+2)*(n-m+1)*(n-m)*(n-m-1)* ... *2*1}{(n-m)*(n-m-1)* ... *2*1}
[/mm]
= [mm] \bruch{n!}{(n-m)!}
[/mm]
Dieselbe Überlegung kannst du auch für a. anstellen, nur eben mit dem Unterschied, dass die Anzahl der Möglichkeiten nicht abnimmt.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 So 05.12.2010 | | Autor: | ella87 |
hi!
klar
> = [mm]\bruch{n!}{(n-m)!}[/mm]
wärmir vermutlich auch aufgefallen, wenn ich die Zwischenrechnung gemacht hätte ...
> Dieselbe Überlegung kannst du auch für a. anstellen, nur
> eben mit dem Unterschied, dass die Anzahl der
> Möglichkeiten nicht abnimmt.
>
ja, das macht Sinn. Ich darf ja jedes Element aus M jedem Element aus N zuordnen. Also habe ich m mal n Möglichkeiten, um die Elemente aus M nach N zu schicken und das macht dann nach Adam Ries(e)
[mm] n^m[/mm]
stimmts?
Liebe Grüße und schonmal Danke für den Denkanstoß!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 So 05.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja stimmt.
Aus diesem Grund wird die Menge aller Abbildungen von M nach N oft mit [mm] N^M [/mm] bezeichnet.
Gruß Sax.
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