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Forum "Naive Mengenlehre" - Anzahl Äquivalenzrelationen M
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Anzahl Äquivalenzrelationen M: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 So 07.12.2014
Autor: b4shyou

Aufgabe
Wie viele Äquivalenzrelationen gibt es auf der Menge M = {1,2,3,4}?

Guten Tag =)

Ich habe folgendes Problem:
Ich soll angeben, wie viele Äquivalenzrelationen auf der Menge M = {1,2,3,4} existieren.

Mein Ansatz wäre einfach, die Menge der Zerlegungen hinzuschreiben, nur da ist der Knackpunkt.
Ich bin mir nicht sicher, wie ich diese Menge nun genau zerlegen muss.

Ich würde mich über eine kurze Hilfe wirklich sehr freuen.

Viele Grüße
M


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Anzahl Äquivalenzrelationen M: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 So 07.12.2014
Autor: phifre

Hallo,

Äquivalenzrelation bedeutet ja immer, dass zwei Elemente zueinander in Relation stehen. Da bei deiner Aufgabe keine Bedingung der Relation angegeben ist, denke ich, dass alle möglichen gemeint sind.
Jetzt musst du eigentlich nur noch alle möglichen Paare aus dieser Menge aufschreiben, wobei die Ordnung innerhalb des Paares auch wichtig ist, d.h. $(x,y)$ ist eine andere Relation als $(y,x)$.

Viele Grüße

Phifre

Bezug
                
Bezug
Anzahl Äquivalenzrelationen M: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 So 07.12.2014
Autor: b4shyou

also {1,2,3,4},{{1},2,3,4},{{1,2},3,4},{{1,2,3},4},{1,{2,3,4}},{1,2,{3,4}},{{1,3},{2,4}},{{1,4},{2,3}},{{1},{2},{3},{4}}

gibts da nicht auch so eine Regel wie bei der Potenzmenge mit [mm] 2^n [/mm] =)



Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Anzahl Äquivalenzrelationen M: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 So 07.12.2014
Autor: phifre

Hallo,

nicht ganz, es können immer nur zwei Elemente in Relation stehen.
Und die Regel ist genau wie bei der Potenzmenge, weil es genau so viele Kombinationsmöglichkeiten gibt.
Deine Menge der Relationen könnte so anfangen:
$$Re = [mm] \{(1,1),(1,2),(1,3),..,(2,1),...\}$$ [/mm]

Viele Grüße

Phifre

Bezug
                                
Bezug
Anzahl Äquivalenzrelationen M: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 So 07.12.2014
Autor: b4shyou

ah okay dann wären es also [mm] 2^4 [/mm] Möglichkeiten, also [mm] 2^4 [/mm] Zerlegungen und somit auch [mm] 2^4 [/mm] mögliche Äquivalenzrelationen.

Können es wirklich nur immer 2 Zerlegungen sein, denn wir hatten ein Beispiel aus der Menge{1,2,3,4,5,6,7} bei ein Teil aus Zerlegung 3 Elemente enthielt {{1},{5},{2,3,7},{4,6}}

Viele Grüße =)

Bezug
                                        
Bezug
Anzahl Äquivalenzrelationen M: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 So 07.12.2014
Autor: phifre

Ja, du hast recht, in Relation können immer nur zwei Elemente zueinander stehen, aber in einer Äquivalenzklasse können durchaus mehrere Elemente sein. Wenn du allerdings alle möglichen Äquivalenzklassen aufschreiben willst, hast du recht viel zu tun.
Das müssen theoretisch 18 verschiedene sein.

Viele Grüße

Phifre

Bezug
                                                
Bezug
Anzahl Äquivalenzrelationen M: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 So 07.12.2014
Autor: b4shyou

okay jetzt hab ich es verstanden =)
Und Zerlegungen sind dann immer Äquivalenzklassen oder?.

Ich muss sie nicht aufschreiben, sondern nur die Anzahl angeben.
Wie kommt man denn auf die 18?
[mm] 2^4+2? [/mm] (und wenn ja, wo kommt die dann die 2 her^^)

LG

Bezug
                                                        
Bezug
Anzahl Äquivalenzrelationen M: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 So 07.12.2014
Autor: phifre

Ja, das kann gut sein, dass damit die Äquivalenzklassen gemeint sind.

Für die 18 möglichen hab ich keine konkrete Formel, sondern einfach alle Möglichkeiten durchgegangen:
1. Alle in einer Klasse; 1 Fall
2. Jedes in eigene Klasse; 1 Fall
3. Eins allein, die anderen zusammen; 4 Fälle
4. Zwei zusammen, zwei einzeln; 6 Fälle
5. Zwei zusammen, andere zwei auch zusammen; 6 Fälle

Ich hoffe ich bin da nicht durcheinander gekommen..

Viele Grüße

Phifre

Bezug
                                                                
Bezug
Anzahl Äquivalenzrelationen M: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 So 07.12.2014
Autor: b4shyou

okay vielen Dank =)

schönen Sonntag noch

LG

Bezug
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