Anz. d. elemente in zykl grp. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei p eine Primzahl und [mm] r\in\IN.
[/mm]
(a) Listen sie die ordnungen der elemente in [mm] C_{p^{r}} [/mm] auf und finden sie die Anzahl der Elemente jeder einzelnen ordnung.
(b) Sei G das direkte produkt [mm] C_{p^{r}}\times C_{p^{r}}\times ...\times C_{p^{r}} [/mm] mit k faktoren [mm] C_{p^{r}}. [/mm] (G ist abelsch mit [mm] |G|=p^{rk}). [/mm] Beweisen Sie dass die anzahl der elemente mit ordnung [mm] p^{r} [/mm] gegeben ist durch [mm] p^{k(r-1)}(p^{k}-1) [/mm] |
Hallo,
also ich habe bei beiden Aufgaben große schwierigkeiten... erstmal zu (a)
Ich weiß, dass [mm] C_{p^{r}} p^{r} [/mm] elemente hat, jetzt habe ich mir das mal für [mm] C_{3}, C_{3^{2}}=C_{9} [/mm] aufgeschrieben, kann aber noch kein muster erkennen. dasselbe habe ich für [mm] C_{5},C_{25} [/mm] gemacht. Ich komme aber irgendwie auf keinen grünen zweig.
bei (b) wollte ich gerne induktion auf k anwenden, also betrachte ich das direkte produkt [mm] C_{p^{r}}\times C_{p^{r}}\times ...\times C_{p^{r}} [/mm] mit (k+1) faktoren, dasnn weiß ich noch nicht so recht was ich bei [mm] p^{k(r-1)}(p^{k}-1) [/mm] hinzu multiplizieren muss, da ich aufgabe (a) noch nicht bearbeiten konnte.
Wäre super, wenn mir jemand helfen kann..
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei p eine Primzahl und [mm]r\in\IN.[/mm]
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> (a) Listen sie die ordnungen der elemente in [mm]C_{p^{r}}[/mm] auf
> und finden sie die Anzahl der Elemente jeder einzelnen
> ordnung.
> (b) Sei G das direkte produkt [mm]C_{p^{r}}\times C_{p^{r}}\times ...\times C_{p^{r}}[/mm]
> mit k faktoren [mm]C_{p^{r}}.[/mm] (G ist abelsch mit [mm]|G|=p^{rk}).[/mm]
> Beweisen Sie dass die anzahl der elemente mit ordnung [mm]p^{r}[/mm]
> gegeben ist durch [mm]p^{k(r-1)}(p^{k}-1)[/mm]
>
> also ich habe bei beiden Aufgaben große schwierigkeiten...
> erstmal zu (a)
>
> Ich weiß, dass [mm]C_{p^{r}} p^{r}[/mm] elemente hat, jetzt habe
> ich mir das mal für [mm]C_{3}, C_{3^{2}}=C_{9}[/mm] aufgeschrieben,
> kann aber noch kein muster erkennen. dasselbe habe ich für
> [mm]C_{5},C_{25}[/mm] gemacht. Ich komme aber irgendwie auf keinen
> grünen zweig.
Nun. Die Ordnung von $g [mm] \in C_{p^r}$ [/mm] ist doch ein Teiler von [mm] $p^r$, [/mm] also von der Form [mm] $p^\ell$ [/mm] fuer ein [mm] $\ell \in \{ 0, 1, \dots, r \}$.
[/mm]
Sei nun [mm] $C_{p^r} [/mm] = [mm] \IZ/p^r\IZ [/mm] = [mm] \{ 0, \dots, p^r - 1 \}$. [/mm] Fuer $a [mm] \in \{ 0, \dots, p^r - 1 \}$ [/mm] ist die Ordnung also [mm] $p^\ell$ [/mm] mit [mm] $\ell$ [/mm] minimal, so dass [mm] $p^\ell [/mm] a$ durch [mm] $p^r$ [/mm] teilbar ist.
Also ist die Ordnung dadurch bestimmt, wie oft $a$ durch $p$ teilbar ist.
Du musst also zaehlen:
* wieviele Zahlen in [mm] $\{ 0, \dots, p^r - 1 \}$ [/mm] sind keinmal durch $p$ teilbar;
* wieviele Zahlen in [mm] $\{ 0, \dots, p^r - 1 \}$ [/mm] sind genau einmal durch $p$ teilbar;
* wieviele Zahlen in [mm] $\{ 0, \dots, p^r - 1 \}$ [/mm] sind genau zweimal durch $p$ teilbar;
* ...
* wieviele Zahlen in [mm] $\{ 0, \dots, p^r - 1 \}$ [/mm] sind genau $r$-mal durch $p$ teilbar.
> bei (b) wollte ich gerne induktion auf k anwenden, also
> betrachte ich das direkte produkt [mm]C_{p^{r}}\times C_{p^{r}}\times ...\times C_{p^{r}}[/mm]
> mit (k+1) faktoren, dasnn weiß ich noch nicht so recht was
> ich bei [mm]p^{k(r-1)}(p^{k}-1)[/mm] hinzu multiplizieren muss, da
> ich aufgabe (a) noch nicht bearbeiten konnte.
Beachte: das Element $(g, h)$ in $G [mm] \times [/mm] H$ hat die Ordnung $kgV(ord(g), ord(h))$.
Jetzt hast du das Produkt von zyklischen Gruppen der Ordnung [mm] $p^r$. [/mm] Damit ist die Ordnung eines jeden Elements ein Teiler von [mm] $p^r$. [/mm] Und damit [mm] $(g_1, \dots, g_k) \in C_{p^r} \times \dots \times C_{p^r}$ [/mm] die Ordnung [mm] $p^r$ [/mm] hat, muss also mind. ein [mm] $g_i$ [/mm] die Ordnung [mm] $p^r$ [/mm] haben.
Anders gesagt: du zaehlst die Vektoren [mm] $(a_1, \dots, a_k) \in \{ 0, \dots, p^r - 1 \}$, [/mm] bei denen mind. ein Eintrag nicht durch $p$ geteilt wird.
Tipp dazu: zaehle doch die, bei denen alle Eintraege durch $p$ teilbar sind, und subtrahiere das von der Gesamtzahl.
LG Felix
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Hallo felix,
danke für die antwort. Also die zahlen, die keinmal durch p teilbar sind, davon scheint es [mm] p^{r-1}*(p-1) [/mm] stück zu geben, das sind nämlich genau die mit ordnung [mm] p^{r}. [/mm] Die, die einmal durch p teilbar sind, haben ordnung [mm] p^{r-1}, [/mm] das scheinen [mm] p^{r-2}(p-1) [/mm] zu sein, stimmt das ? also für eine r-mal durch p teilbare zahl kriegen wir (p-1), müsste das nicht aber eigentlich 1 sein, weil das ja nur die identität sein kann, oder ?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> danke für die antwort. Also die zahlen, die keinmal durch
> p teilbar sind, davon scheint es [mm]p^{r-1}*(p-1)[/mm] stück zu
> geben, das sind nämlich genau die mit ordnung [mm]p^{r}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die, die einmal durch p teilbar sind, haben ordnung [mm]p^{r-1},[/mm] das
> scheinen [mm]p^{r-2}(p-1)[/mm] zu sein, stimmt das ?
Ja, das stimmt.
> also für eine r-mal durch p teilbare zahl kriegen wir (p-1),
Wie kommst du dadrauf? Das ist falsch, wie du schon selber bemerkt hast:
> müsste das nicht aber eigentlich 1 sein, weil das ja nur die
> identität sein kann, oder ?
Ja, es muss 1 sein. Oder anders gesagt, [mm] $p^0$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo,
die vermutung mit [mm] p^{r-1}(p-1) [/mm] habe ich mehr oder weniger aus frage (b) geschlossen. wie kann ich das dann noch allgemein beweisen ? induktion ? hier hätte ich wieder das gleiche problem: wo setze ich mit der induktion an ?
Konkret also: wie leite ich diese formel so her, dass man dafür in der klausur auch punkte kriegt ?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Mo 08.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> die vermutung mit [mm]p^{r-1}(p-1)[/mm] habe ich mehr oder weniger
> aus frage (b) geschlossen. wie kann ich das dann noch
> allgemein beweisen ? induktion ? hier hätte ich wieder das
> gleiche problem: wo setze ich mit der induktion an ?
Du hattest aber auch die Formel fuer die Elemente der Ordnung [mm] $p^{r-1}$ [/mm] hingeschrieben. Wie bist du auf die gekommen?
Und per Induktion wuerde ich das nicht zeigen.
Ueberlege dir doch:
* Wieviele Elemente haben Ordnung [mm] $p^r$ [/mm] oder einen Teiler davon als Ordnung?
* Wieviele Elemente haben Ordnung [mm] $p^{r-1}$ [/mm] oder einen Teiler davon als Ordnung?
* Wieviele Elemente haben Ordnung [mm] $p^{r-2}$ [/mm] oder einen Teiler davon als Ordnung?
* ...
* Wieviele Elemente haben Ordnung [mm] $p^1$ [/mm] oder einen Teiler davon als Ordnung?
* Wieviele Elemente haben Ordnung [mm] $p^0$ [/mm] oder einen Teiler davon als Ordnung?
Wenn du die Fragen beantworten kannst, hast du (a) fast geloest.
LG Felix
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> Moin
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> > die vermutung mit [mm]p^{r-1}(p-1)[/mm] habe ich mehr oder weniger
> > aus frage (b) geschlossen. wie kann ich das dann noch
> > allgemein beweisen ? induktion ? hier hätte ich wieder das
> > gleiche problem: wo setze ich mit der induktion an ?
>
> Du hattest aber auch die Formel fuer die Elemente der
> Ordnung [mm]p^{r-1}[/mm] hingeschrieben. Wie bist du auf die
> gekommen?
Ich habe das ganz stupide ausgeschrieben für [mm] C_{27} [/mm] und [mm] C_{25}. [/mm] Die Zahlen haben gepasst.
> Und per Induktion wuerde ich das nicht zeigen.
>
> Ueberlege dir doch:
> * Wieviele Elemente haben Ordnung [mm]p^r[/mm] oder einen Teiler
> davon als Ordnung?
[mm] p^{r} [/mm] hatte ich ja schon geschrieben, [mm] p^{r-1}(p-1). [/mm] teiler von [mm] p^{r} [/mm] sind [mm] p^{r-1},...,p^{1},p^{0} [/mm] davon müsste es ja dann [mm] \sum_{i=2}^{r}p^{r-i}(p-1)+1 [/mm] sein, meinst du das ?
> * Wieviele Elemente haben Ordnung [mm]p^{r-1}[/mm] oder einen
> Teiler davon als Ordnung?
> * Wieviele Elemente haben Ordnung [mm]p^{r-2}[/mm] oder einen
> Teiler davon als Ordnung?
> * ...
> * Wieviele Elemente haben Ordnung [mm]p^1[/mm] oder einen Teiler
> davon als Ordnung?
> * Wieviele Elemente haben Ordnung [mm]p^0[/mm] oder einen Teiler
> davon als Ordnung?
>
> Wenn du die Fragen beantworten kannst, hast du (a) fast
> geloest.
>
> LG Felix
>
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:50 Di 09.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> > > die vermutung mit [mm]p^{r-1}(p-1)[/mm] habe ich mehr oder weniger
> > > aus frage (b) geschlossen. wie kann ich das dann noch
> > > allgemein beweisen ? induktion ? hier hätte ich wieder das
> > > gleiche problem: wo setze ich mit der induktion an ?
> >
> > Du hattest aber auch die Formel fuer die Elemente der
> > Ordnung [mm]p^{r-1}[/mm] hingeschrieben. Wie bist du auf die
> > gekommen?
>
> Ich habe das ganz stupide ausgeschrieben für [mm]C_{27}[/mm] und
> [mm]C_{25}.[/mm] Die Zahlen haben gepasst.
ok...
> > Und per Induktion wuerde ich das nicht zeigen.
> >
> > Ueberlege dir doch:
> > * Wieviele Elemente haben Ordnung [mm]p^r[/mm] oder einen
> Teiler
> > davon als Ordnung?
>
> [mm]p^{r}[/mm] hatte ich ja schon geschrieben, [mm]p^{r-1}(p-1).[/mm]
Was jetzt, [mm] $p^r$ [/mm] oder [mm] $p^{r-1} [/mm] (p - 1)$? Was davon soll die Anzah der Elemente sein, deren Ordnung ein Teiler von [mm] $p^r$ [/mm] ist?
> teiler
> von [mm]p^{r}[/mm] sind [mm]p^{r-1},...,p^{1},p^{0}[/mm]
Ja.
> davon müsste es ja
> dann [mm]\sum_{i=2}^{r}p^{r-i}(p-1)+1[/mm] sein, meinst du das ?
Was muss das sein? Sag bitte genauer was du meinst...
> > * Wieviele Elemente haben Ordnung [mm]p^{r-1}[/mm] oder einen
> > Teiler davon als Ordnung?
> > * Wieviele Elemente haben Ordnung [mm]p^{r-2}[/mm] oder einen
> > Teiler davon als Ordnung?
> > * ...
> > * Wieviele Elemente haben Ordnung [mm]p^1[/mm] oder einen
> Teiler
> > davon als Ordnung?
> > * Wieviele Elemente haben Ordnung [mm]p^0[/mm] oder einen
> Teiler
> > davon als Ordnung?
Und was ist hiermit?
LG Felix
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Hi,
jetzt weiß ich was du meinst:
es gibt [mm] p^{r-1} [/mm] elemente in [mm] C_{p^{r}} [/mm] die nicht ordnung [mm] p^{r}. [/mm] also ist die anzahl der elemente mit ordnung [mm] p^{r} [/mm] gegeben durch [mm] p^{r}-p^{r-1}=p^{r-1}(p-1). [/mm] Also [mm] p^{r-1} [/mm] elemente die einen teiler von [mm] p^{r} [/mm] als ordnung haben. Das geht dann weiter, dass du [mm] p^{r-1}-p^{r-2}=p^{r-1}(p-1) [/mm] elemente mit ordnung [mm] p^{r-1} [/mm] hast .
Bis zur identität mit ordnung eins, wovon es nur ein element gibt.
Ich denke das habe ich jetzt.
Für den Teil b) habe ich mir überlegt das per induktion zu zeigen, das war auch der tipp des profs.
für k=1 haben wir [mm] p^{r-1}(p-1) [/mm] elemente mit ordnung [mm] p^{r}, [/mm] das ist also wahr.
so für n=k kriegen wir also
[mm] p^{k(r-1)}(p^k-1) [/mm] nach der induktionsvorraussetzung, wie ist jetzt der nächste schritt ?
multipliziere ich das ganze jetzt mit [mm] p^{r-1}(p-1) [/mm] um den ausdruck auf [mm] p^{(k+1)(r-1)}(p^{k+1}-1) [/mm] zu bringen ? Das war meine erste vermutung da die anzahl der elemente in einem direkten produkt von gruppen [mm] G_{1}\times...\times G_{n} [/mm] gegeben ist durch [mm] |G_{1}|*...*|G_{n}|.
[/mm]
Nur kriege ich es mit der multiplikation nicht auf den gewünschten ausdruck umgeformt...
Vielen Dank für die Hilfe,
lg
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