Anz. 3-stell. Zahlen mit QS=5 < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie viele verschiedene, höchstens dreistellige Zahlen mit der Quersumme 5 gibt es? |
Hallo!
Ich merke immer mehr, dass die Kombinatorik mein großer Schwachpunkt ist. Obige Aufgabe entstammt einem Aufgabenblatt für den Mathe GK. Ich würde als erstes alle Möglichkeiten aufschreiben, wie man QS = 5 erreichen kann:
0,0,5
0,1,4
1,1,3
1,2,2
0,2,3
Das dürften alle sein... Und nun müsste ich ja so anfangen:
1-Stellig: 5
2-Stellig: 50,14,41,23,32
3-Stellig: 113,122,131,140,203,212,221,230,302,311,320,401,410,500
Ich käme also auf 20 Stück. Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass die Aufgabensteller das bezweckt haben. Gibt es einen "kombinatorischeren" Weg?
Grüße,
Stefan.
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Hallo Stefan,
und die 104? 
Ein kombinatorischerer Weg... Mal sehen. Ich fange mal dreistellig an.
Vorn eine 5, danach 0,0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 Anordnung
Vorn eine 4, danach 0,1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 Anordnungen
Vorn eine 3, danach 0,2 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 Anordnungen
Vorn eine 3, danach 1,1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 Anordnung
Vorn eine 2, danach 0,3 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 Anordnungen
Vorn eine 2, danach 1,2 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 Anordnungen
Vorn eine 1, danach 0,4 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 Anordnungen
Vorn eine 1, danach 1,3 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 Anordnungen
Vorn eine 1, danach 2,2 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 Anordnung
Zusammen 6*2+3*1=15 Möglichkeiten
Jetzt schauen wir doch mal, ob das nicht noch kürzer geht.
Beobachtung:
Vorn die 5: 1 Möglichkeit
Vorn die 4: 2 Möglichkeiten
Vorn die 3: 3 Möglichkeiten
Vorn die 2: 4 Möglichkeiten
Vorn die 1: 5 Möglichkeiten
Aha.
Zweistellig gab es ja immer nur eine Möglichkeit pro Anfangsziffer.
Wenn Du Lust hast, such mal nach einer Verallgemeinerung:
Wieviele maximal dreistellige Zahlen haben jetzt wohl die Quersumme 7?
Und wieviele maximal vierstellige Zahlen haben die Quersumme 9? Wieviel haben die 12? (Achtung, Achtung, der Bahnsteig fährt ab...)
Grüße,
reverend
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Hallo reverend,
danke für deine Antwort!
Ich denke, eine gewisse Regeläßigkeit habe ich entdeckt 
[mm] 1,n,\bruch{n*(n+1)}{2},...
[/mm]
Mir fehlt aber gerade etwas die Zeit, das genauer zu erforschen.
Grüße,
Stefan
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