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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Do 02.12.2004 | | Autor: | Lucie |
Uiuiui, da komm ich mal wieder mit etwas gar nicht klar:
Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie sind Breite und Höhe des Rechtecks zu wählen, damit die Querschnittsfläche 8m² groß ist?
Das ist die Frage und hier kommt mein Ansatz:
Ist x die Breite und y die Höhe der Seiten des Rechtecks, so lautet die Gleichung für die Fläche:
x*y + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *( [mm] \pi*( \bruch{1}{2} [/mm] x)²) = 8m²
so hab ich mir das mal zusammen gebastelt, bin aber schwer imZweifel ob das sp stimmt.
und selbst wenn, wüsst ich jetzt nicht wie weiter, ich kann das nämlich nicht nach y auflösen, damit ich das als Funktion nehmen kann??!!
Danke für eure Hilfe,
Lucie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Do 02.12.2004 | | Autor: | dominik |
Hallo Lucie
Dein Ansatz ist durchaus korrekt - die Lösung aber nicht eindeutig: das Rechteck kann im Breitformat gezeichnet werden, mit einem "grösseren" Halbkreis obenauf, oder dann im Hochformat mit einem kleineren Halbkreis.
Bist Du sicher, dass keine weitere Bedingung angegeben ist, zum Beispiel eine Beziehung zwischen Länge und Breite des Rechtecks?
Zudem ist die Funktion nicht gebrochen rational - die Variable kommt ja nicht im Nenner vor - sondern ganz rational ...
Bin gespannt ...
Gruss
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Do 02.12.2004 | | Autor: | Lucie |
also, es sind keine weiteren angaben gegeben, aber es ist eine skizze dabei, dass hatte ich vergessen, sorry.
ich kanns jetzt eben nur beschreiben, das rechteck kann man sich so vorstellen, dass es z.B. 3cm breit ist und 1,5 cm hoch, und der Halbkreis sitzt dann eben auf der Breite und hätte somit (hier in meinen gewählten angaben) einen Radius von 1,5cm.
Kann man sichs jetzt besser vorstellen?
Habs mal angedeutet :)
halbkreis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Do 02.12.2004 | | Autor: | Anubis |
Hallo Lucie,
offensichtlich fehlt bei deiner Aufgabe eine Zusatzbedingung wie z.B minimaler Umfang bei gegebenem Flächeninhalt, außerdem sehe ich nicht, was das mit gebrochen rationalen Fnkt. zu tun haben soll. Wenn du diese Bedingung noch angeben kannst, sollte die Lösung kein Problem sein (zumindest für mich...), Deine Formel für die Fläche ist richtig, aber die allein reicht eben nicht aus, da zum bestimmen von 2 Unbekannten (x,y) eben auch 2 Gleichungen benötigt werden (die fehlende Bedingung liefert die zweite Gleichung).
MfG Anubis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Do 02.12.2004 | | Autor: | darklion |
also nach y auflösen ist doch gar nicht so schwer ;)
wie wärs mit
y= [mm] 8/x-1/8*x*\pi
[/mm]
nunja wie schon gesagt wurde, eine Nebenbedingung würde dich jetzt weiterbringen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 Do 02.12.2004 | | Autor: | Lucie |
ähm, also das ist jetzt peinlich, braucht man zur Lösung etwa den Satz den ich weggelassen habe??
Hier die komplette Aufgabe, mehr hab ich wirklich nicht:
Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie sind Breite und Höhe des Rechtecks zu wählen, damit die Querschnittsfläche 8 m² groß ist und zur Ausmauerung des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird?
Also ehrlich kann ich nicht glauben, dass das weiter hilft???!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Anubis |
Hallo Lucie,
genau das hilft weiter, denn die fehlende Bedingung ist min. Umfang bei gegebener Fläche (minimaler Materialverbrauch).
Die Lösung lautet dann
[mm] l(x,y)=x+2y+\pi*x [/mm] mit der Nebenbed. [mm] 8=xy+1/8*\pi*x^{2}
[/mm]
bzw. [mm] y=8/x+\pi/8*x^{2}
[/mm]
Der Umfang (Länge l) hängt von den Variablen x und y ab.
Durch einsetzen der Zusatzbedingung hängt l im folgenden Schritt nur noch von x ab
[mm] l(x)=x+2[8/x-\pi*x/8]+\pi*x
[/mm]
bzw.
[mm] l(x)=x+16/x+3/4*\pi*x
[/mm]
Da der Minimalwert (Extremwert] gesucht ist, muss die erste Ableitun von l(x) gebildet werden und gleich Null gesetzt werden
[mm] l'(x)=0=1-16/x^{2} [/mm] + 3/4 [mm] *\pi
[/mm]
nach x aufgelöst
[mm] x=+-\wurzel{16/(1+3/4*\pi)}
[/mm]
Die negatize Lösung, die beim radizieren entsteht ist natürlich sinnlos,
mit dem Ergebnis für x kannst du nun auch y ausrechnen (s.o.) und bei Bedarf mit der 2. Ableitung [ l''(x) ] die Art der Extremwerte nachweisen.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, lautet die Lsg. x=2,183 y=2.807
MfG
Anubis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:13 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Lucie |
vielen vielen dank, das klingt doch logisch :)
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