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Hallo erstmal an alle,
ich hoffe Lars liest das hier jetzt nicht mit (oder wenn doch, ist es eigentlich auch egal - dann sieht er wenigstens, dass ich was tue *g*). Es geht um ein kleines Problem, was ich bei Mengenoperatoren habe.
Und zwar:
habe ich ein x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B)
Jetzt will ich dieses Aussage "logisch" aufspalten. Mir ist klar, dass bei der Mengendifferenz folgendes gelten muss: x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B, aber in meinen Fall steht ja vor dem ganzen ein [mm] \not\in.
[/mm]
Muss ich dann alles umdrehen? (also so: x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B)
Oder kann ich mir das [mm] \not\in [/mm] vor der Mengendifferenz quasi als "Komplement" denken. Dann müsste ich ja beim Aufspalten aus dem [mm] \wedge [/mm] ein [mm] \vee [/mm] machen.
Oder aber ich liege ganz auf dem Holzweg?!
Wäre nett, wenn da eventuell jemand helfen könnte.
MfG
liquid
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Di 19.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Tobias!
Ja, du hast da schon die richtigen Ideen:
Es gilt, wie du schon sagtest: [mm] $x\in A\setminus B\gdw x\in A\wedge x\notin [/mm] B$. Wegen [mm] $a\notin A=\neg (a\in [/mm] A)$, gilt übertragen auf diesen Fall: [mm] $x\notin A\setminus B\gdw \neg (a\in A\setminus B)=\neg (x\in A\wedge x\notin [/mm] B)$. Wegen [mm] $\neg (a\wedge b)\gdw \neg a\vee \neg [/mm] b$ gilt. [mm] $\gdw \neg x\in A\vee \neg x\notin B=x\notin A\vee x\in [/mm] B$.
Liebe Grüße,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:39 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo LiquidAcid,
Hannos Weg ist vollkommen okay. Ich überlege mir sowas manchmal auch mithilfe der Komplemente (denk an die Regeln von de Morgan!):
$x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B)$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \setminus B)^C$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap B^C)^C$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \in (A^C \cup \underbrace{(\,B^C)^C}_{=B}\,\,)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \in (A^C \cup [/mm] B)$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \in A^C$ [/mm] oder $x [mm] \in [/mm] B$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x [mm] \notin [/mm] A$ oder $x [mm] \in [/mm] B$
Du siehst, am Ende kommt eh das gleiche heraus! 
Liebe Grüße
Marcel
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