Anwendung des binomischen Satz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie -ohne Zuhilfenahme eines taschenrechners- welche der beiden Zahlen 1000000^1000001 und 1000001^1000000 die größere ist.
Hinweis: Fragestellung auf den Vergleich von n^(n+1) und [mm] (n+1)^n [/mm] abstrahieren, den Quotienten betrachten und binomischen Satz anwenden, Binomialkoeffizienten geeignet abschätzen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß zwar, dass die erste Zahl die größere der beiden ist, da sie den höheren Exponenten hat, aber wie kann ich dabei den Hinweis befolgen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Mi 01.11.2006 | | Autor: | statler |
> Entscheiden Sie -ohne Zuhilfenahme eines taschenrechners-
> welche der beiden Zahlen 1000000^1000001 und
> 1000001^1000000 die größere ist.
> Hinweis: Fragestellung auf den Vergleich von n^(n+1) und
> [mm](n+1)^n[/mm] abstrahieren, den Quotienten betrachten und
> binomischen Satz anwenden, Binomialkoeffizienten geeignet
> abschätzen.
Guten Tag Susann!
Du sollst [mm] n^{n+1} [/mm] und [mm] (n+1)^{n} [/mm] vergleichen, also
[mm] n^{n+1} [/mm] ? [mm] (n+1)^{n}
[/mm]
Beide Seiten durch [mm] n^{n} [/mm] teilen gibt
n ? (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n} [/mm] = 1 + 1 + (höchstens [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] + weitere pos. Terme (Binomi!)
Jetzt müßtest du die rechte Seite geeignet abschätzen, z. B. durch eine geometrische Reihe; man kann die rechte Seite durch 3 nach oben abschätzen.
Und damit bist du im Prinzip fertig, wenn die rechte Seite immer [mm] \le [/mm] 3 ist, ist die linke Seite für n = 4 und ff. größer.
Gruß
Dieter
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