Anwendung Satz Lagrange < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei N [mm] \varepsilon \IN [/mm] mit : N teilt [mm] 2^{N}-1
[/mm]
Folgern sie : N=1 |
Sooo ich hab mir die lösung dieser aufgabe angesehen ,aber ich verstehe die beweisführung bis auf die stelle von Satz von lagrange  ,dazu würde ich eure hilfe beziehen.
So der Lösungsweg bis zu der kritischen Stelle :
Annahme:
Sei N>1 und N teiler von [mm] 2^{N}-1 [/mm] .Da [mm] 2^{N}-1 [/mm] ungerade ist folgt der Teiler N ist ungerade.
Sei p nun der kleinste Primteiler von N ,dann teilt ebenso p [mm] 2^{N}-1.
[/mm]
(nun die kritische Stelle ,wo ich die sache nicht so ganz verstehe )
da es modulo p genau p-1 invertierbaren Restklassen gibt ,zu denen auch die von 2 gehört ,folgt mit dem Satz von Lagrange ,dass p Teiler von [mm] 2^{p-1}-1 [/mm] ist.
ich verstehe nicht warum p [mm] 2^{p-1}-1 [/mm] teilt ,ich hoffe ihr könnt mir dabei behilfreich sein
den satz von langrange kenne ich bezogen auf gruppen und ihre zugehörige untergruppe
lg
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moin,
> So der Lösungsweg bis zu der kritischen Stelle :
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> Annahme:
> Sei N>1 und N teiler von [mm]2^{N}-1[/mm] .Da [mm]2^{N}-1[/mm] ungerade ist
> folgt der Teiler N ist ungerade.
> Sei p nun der kleinste Primteiler von N ,dann teilt
> ebenso p [mm]2^{N}-1.[/mm]
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> (nun die kritische Stelle ,wo ich die sache nicht so ganz
> verstehe )
>
> da es modulo p genau p-1 invertierbaren Restklassen gibt
> ,zu denen auch die von 2 gehört ,folgt mit dem Satz von
> Lagrange ,dass p Teiler von [mm]2^{p-1}-1[/mm] ist.
Wenn dein $p$ dein [mm] $2^N-1$ [/mm] teilt, heißt das also, dass modulo $p$ gilt: [mm] $2^N \equiv [/mm] 1$. Gruppentheoretisch heißt das also [mm] $2^N [/mm] = 1$ in [mm] $E(\IZ_p)$; [/mm] der Einheitengruppe von [mm] $\IZ_p$.
[/mm]
Da besagte Gruppe genau $p-1$ Elemente hat, muss somit mit Lagrange auch [mm] $2^{p-1} [/mm] = 1$ in dieser Gruppe gelten.
Zurück überführt auch Teilbarkeiten bedeutet dies, dass $p [mm] \mid 2^{p-1}-1$.
[/mm]
Hier wird also einzig verwendet, dass es einen Zusammenhang zwischen Teilbarkeiten und Beziehungen in gewissen Gruppen gibt; diese kennst du hoffentlich schon aus der Vorlesung (wenn nein frag ruhig).
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Sa 29.12.2012 | | Autor: | Decehakan |
danke ich hab jetzt gescheckt , [mm] 2^n=1 [/mm] war der wesentliche schritt was man vergesen hat im Lösungsweg zu erwähnen
danke sehr gut erklärt :D
lg
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sorry ich versehe doch immer noch nicht ,kannst du mir noch exipliter zeigen
denn [mm] 2^N=1 [/mm] das habe ich verstanden denn da p [mm] 2^N-1 [/mm] p teilt folgt
[mm] 2^N-1=k*p [/mm] k element von Z
nach mod p folgt [mm] 2^N-1=0 [/mm] und da -1=p-1 folgt [mm] 2^N+(p-1)=0 [/mm] => [mm] 2^N=1
[/mm]
Aber wieso 2^(p-1)=1 verstehe ich immer noch nicht
,du hast mir gezeigt dass die Einheitengruppe aus p-1 besteht ,und p-1 ein Teiler der Gruppe ist ,
aber was hat die Mächtigkeit der Restklassengruppe Z/pZ mit 2^(p-1)=1 zu tun bzw mit dem Teiler ???
Lg
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Hallo Decehakan,
da fehlt noch ein Satz, der zur absoluten Grundausstattung der Zahlentheorie gehört...
> sorry ich versehe doch immer noch nicht ,kannst du mir noch
> exipliter zeigen
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> denn [mm]2^N=1[/mm] das habe ich verstanden denn da p [mm]2^N-1[/mm] p teilt
> folgt
>
> [mm]2^N-1=k*p[/mm] k element von Z
>
> nach mod p folgt [mm]2^N-1=0[/mm] und da -1=p-1 folgt [mm]2^N+(p-1)=0[/mm]
> => [mm]2^N=1[/mm]
>
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> Aber wieso 2^(p-1)=1 verstehe ich immer noch nicht
Das gilt [mm] \mod{p} [/mm] aufgrund des Satzes von (Euler-)Fermat; meist "kleiner Fermat" genannt.
> ,du hast mir gezeigt dass die Einheitengruppe aus p-1
> besteht ,und p-1 ein Teiler der Gruppe ist ,
>
> aber was hat die Mächtigkeit der Restklassengruppe Z/pZ
> mit 2^(p-1)=1 zu tun bzw mit dem Teiler ???
Klarer?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Do 03.01.2013 | | Autor: | Decehakan |
danke lg
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