Anwendung Ito Formel < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo wie löse ich folgendes Problem:
Ich habe einen stochastischen Prozess [mm] \lambda_t [/mm] = [mm] \lambda_0 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{w_s dB_s} [/mm] gegeben wobei [mm] w_t [/mm] deterministisch und B die Brownsche Bewegung ist.
Wie löse ich nun die SDE [mm] dZ_t [/mm] = - [mm] \lambda_t Z_t dB_t [/mm] ? Ich weiß, dass ich Ito anwenden muss mit [mm] Z_t [/mm] = [mm] f(t,\lambda_t), [/mm] aber ich stehe auf dem Schlauch, wie ich das aufschreiben muss...
Danke schonmal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Do 05.04.2012 | | Autor: | torstentw |
keine eine idee :(?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Do 05.04.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
Also,
[mm] $dZ_t [/mm] = [mm] -\lambda_t Z_t\ dB_t [/mm] = [mm] -\frac{\lambda_t}{w_t} Z_t\ d\lambda_t$
[/mm]
[mm] $dZ_t [/mm] = [mm] df(t,\lambda_t)= (\frac{\partial}{\partial t} [/mm] f + [mm] \frac [/mm] 12 [mm] \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2} [/mm] f)\ dt + [mm] \frac{\partial}{\partial \lambda}f\ d\lambda_t$
[/mm]
Damit fordern wir
1. [mm] $\frac{\partial}{\partial \lambda}f [/mm] = [mm] -\frac{\lambda_t}{w_t} [/mm] f$
(der Term aus der SDE)
2. [mm] $\frac{\partial}{\partial t} [/mm] f = - [mm] \frac [/mm] 12 [mm] \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2} [/mm] f= [mm] -\frac [/mm] 12 [mm] \frac{\partial}{\partial \lambda}(-\frac{\lambda_t}{w_t} [/mm] f) $
$= [mm] -\frac [/mm] 12 [mm] (-\frac f{w_t} [/mm] + [mm] \frac{\lambda^2_t}{w_t^2} [/mm] f)= [mm] \frac [/mm] 12 [mm] f*(\frac 1{w_t} [/mm] - [mm] \frac{\lambda_t^2}{w_t^2})$
[/mm]
(die SDE hat keinen Drift)
oder seh ich das falsch?
ciao
Stefan
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Ok das hatte ich nun auch soweit nachgerechnet, danke Stephan :).
Aber wie komme ich nun auf ein Ergebnis? Bzw ich habe eins gegeben, welches ich natürlich nachrechnen kann. Aber, falls ich dies nicht hätte, was wäre dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
was ist das Ergebnis?
Ich bin mir bei der Rechnung nämlich auch nicht so ganz sicher (ist ne Weile her) und sie führt bei mir auf eine ziemlich starke Einschränkung von [mm] $w_t$.
[/mm]
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Sa 07.04.2012 | | Autor: | torstentw |
Die Lösung ist
[mm] Z_t [/mm] = [mm] \left(\frac{w_0}{w_t}\right)^{\frac{1}{2}} [/mm] exp [mm] \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{\lambda^2_t}{w_t}-\frac{\lambda^2_0}{w_0}\right)\right]
[/mm]
Nach nachprüfen stimmt das auch, aber mich würde interessieren wie ich darauf kommen kann.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \frac{\partial}{\partial \lambda}f [/mm] = [mm] -\frac{\lambda_t}{w_t} [/mm] f $
löst sich zu
[mm] $f=\exp(-\frac [/mm] 12* [mm] \frac{\lambda_t^2}{w_t} [/mm] + [mm] C_t)$
[/mm]
und aus
[mm] $\frac{\partial f}{\partial t} [/mm] = [mm] \frac [/mm] 12 f* [mm] (\frac{\lambda_t^2}{w_t^2} [/mm] - [mm] \frac 1{w_t})$ [/mm] ( <-- umgedrehtes Vorzeichen, siehe unten)
würde dann durch Einsetzen folgen, daß
[mm] $C_t=-\ln\sqrt{w_t} [/mm] + D$
Die anderen Terme ergeben sich aus einer Anfangsbedingung.
Mein Problem ist folgendes:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial t} [/mm] = [mm] \frac [/mm] 12 f* [mm] (\frac{\lambda_t^2}{w_t^2} [/mm] - [mm] \frac 1{w_t})$
[/mm]
ich komm hier nämlich ums Verrecken auf das umgedrehte Vorzeichen
[mm] $\frac{\partial f}{\partial t} [/mm] = - [mm] \frac [/mm] 12 f* [mm] (\frac{\lambda_t^2}{w_t^2} [/mm] - [mm] \frac 1{w_t})$
[/mm]
und ich seh nicht, wo mein Fehler ist.
Ich hab mir schon beim ersten Rechnen gedacht, daß das mit anderen Vorzeichen netter wäre, aber ich komm nicht drauf.
Dementsprechend erhalte ich auch nicht, daß das oben die SDE löst, weil sich der Driftterm bei mir nicht wegkürzt.
Wenn Du mich da erleuchten könntest, wäre ich Dir sehr verbunden. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Sa 07.04.2012 | | Autor: | torstentw |
Hm stimmt auf dein Ergebnis kam ich jezt auch aber mir fällt folgendes spontan auf:
müsste es nicht
$ [mm] dZ_t [/mm] = [mm] df(t,\lambda_t)= (\frac{\partial}{\partial t} [/mm] f + [mm] \frac [/mm] 12 [mm] \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2} [/mm] f [mm] w_t^2)\ [/mm] dt + [mm] \frac{\partial}{\partial \lambda}f\ w_t d\lambda_t [/mm] $
heißen?
Werde es mal damit betrachten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Sa 07.04.2012 | | Autor: | torstentw |
mir ist gerade noch aufgefallen, dass [mm] w_t [/mm] = [mm] \frac{w_0}{1+w_0t} [/mm] gilt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
hmm, ja das [mm] $w^2$ [/mm] fehlt, weil ich schlauerweise einen Teil abgeschrieben hab, wo ich schon mit Einschränkungen für w experimentiert hatte. Der Schmierzettel war leicht unübersichtlich. =)
Mein Fehler war aber tatsächlich beim Ableiten, wenn auch an anderer Stelle als gedacht. Ich hab das Nachdifferenzieren von [mm] $w_t$ [/mm] vergessen (bitte nicht meinem Nachhilfeschüler erzählen =) *schäm*
Bis zu
$f= [mm] e^{-\frac 12 \frac{\lambda^2}{w} + C_t}$ [/mm]
bleibt eh alles gleich.
Hier jetzt mit korrekter Ableitung von [mm] $\frac 1{w_t}:
[/mm]
[mm] $\frac \partial{\partial t}f [/mm] = [mm] \frac [/mm] 12 f [mm] (\lambda_t^2 \frac 1{w_t^2} \frac{\partial w_t}{\partial t} [/mm] + [mm] 2\frac \partial{\partial t} C_t) \overset{!}{=} \frac [/mm] 12 f [mm] (w-\lambda^2) [/mm] = [mm] -\frac{w_t^2}2 \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2}f$
[/mm]
[mm] $2\frac \partial{\partial t} C_t [/mm] = w - [mm] \lambda^2 [/mm] ( 1 + [mm] \frac 1{w_t^2} \frac{\partial w_t}{\partial t})$
[/mm]
Die Klammer muß 0 sein, weil [mm] $C_t$ [/mm] nicht von [mm] $\lambda$ [/mm] abhängen darf:
[mm] $\frac 1{w_t^2} \frac{\partial w_t}{\partial t} [/mm] = -1$
daraus folgt
[mm] $w_t [/mm] = [mm] \frac [/mm] 1{a + t}$
und dann paßt alles.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Di 10.04.2012 | | Autor: | torstentw |
Geht klar, werde es nicht weitersagen ;) Habe es auch mittlerweile selbst gefunden, sorry dass ich das nicht geschrieben hatte.
Vielen Dank nochmals!
Gruß
Torsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Di 21.08.2012 | | Autor: | torstentw |
Eigentlich hab ich gar nichts gemacht^^ wundert mich auch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Di 21.08.2012 | | Autor: | Loddar |
> Eigentlich hab ich gar nichts gemacht
Dann hat sich also irgendjemand Anders unter Deinem Account eingeloggt und bei diversen Threads die Frageartikel geleert? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 10.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
