Antipodenpaar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Sa 24.06.2006 | | Autor: | wimath |
| Aufgabe |
(a) Zeigen Sie, dass die n-Sphäre [mm] S^n:= [/mm] {x [mm] \in \IR^n [/mm] | [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_2 [/mm] = 1}
bogenzusammenhängend ist für n >= 1
(b) Folgern Sie, dass jede stetige Funktion f: [mm] S^n ->\IR [/mm] ein Antipodenpaar
mit gleichem Funktionswert besitzt, d.h. ein x' mit f(x') = f(-x')
wimath |
Hallo!
Also den Aufgabenteil (a) habe ich gemacht, aber bei dem Aufgabenteil (b)
komme ich nicht weiter, hat jemand ne Idee wie ich da argmentieren soll?
Ich finde keinen Ansatz...
Gruss
wimath
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Wähle bei (b) ein [mm] $x\in S^n$ [/mm] sowie eine stetige Kurve [mm] $v:[0,1]\to S^n$ [/mm] zwischen $x$ und $-x$ (diese existiert nach (a)) und betrachte die stetige Funktion [mm] $g:[0,1]\to \IR$ [/mm] mit $g(t)=f(v(t))-f(-v(t))$. Hierauf kannst du nun den Zwischenwertsatz anwenden.
Liebe Grüße,
Hanno
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