Ansatz bei Inhomogener DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Di 07.02.2012 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Gegeben ist:
[mm] $y'+\alpha y=\sinh(\beta x)P_n(x)$
[/mm]
mit
[mm] $P_n(x)=\sum_{i=0}^{n}=a_i\cdot x^i, \quad\alpha=const$
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass man durch den Ansatz:
[mm] $y=\tilde P_n \cosh(\beta x)+\hat P_n \sinh(\beta [/mm] x)$
eine Lösung der inhomogenen Gleichung erhalten kann. |
Hallo liebes Forum ;)
Mein Ansatz zu der Aufgabe war zu erst ableiten und einsetzen:
Ich lasse bei den Polynomen das "n" weg, [mm] $P_x$ [/mm] bedeutet nach x abgeleitet:
[mm] $y'=\tilde P_x \cosh(\beta x)+\hat P_x \sinh(\beta x)+\beta\tilde [/mm] P [mm] \sinh(\beta x)+\beta\hat [/mm] P [mm] \cosh(\beta [/mm] x)$
Das habe ich eingesetzt und ausgeklammert und bekomme:
[mm] $\cosh(\beta x)(\tilde P_x +\beta \hat [/mm] P [mm] +\alpha \tilde P)+\sinh(\beta x)(\hat P_x [/mm] + [mm] \beta \tilde [/mm] P + [mm] \alpha \hat P)=P\cdot \sinh(\beta [/mm] x)$
Meine Idee war jetzt zu sagen, dass
[mm] $(\tilde P_x [/mm] + [mm] \beta \hat [/mm] P + [mm] \alpha \tilde [/mm] P)=0$
sein muss. Dafür hab ich dann Koeffzientenvergleich gemacht und die Koeffizienten von [mm] $\hat [/mm] P$ durch die Koeffizienten von [mm] $\tilde [/mm] P$ ausgedrückt.
Diese dann in den Faktor vor [mm] $\sinh(\beta [/mm] x)$ auf der linken Seite eingesetzt und mit den Koeffizienten von $P$ verglichen.
Leider ist das ganze bei mir ziemlich unübersichtlich geworden und ich kann nicht überprüfen ob das Ergebnis die DGL löst..
Deshalb bin ich mir nicht sicher ob der Ansatz geschickt/richtig war.
Was meint ihr?
lg
nhard
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Di 07.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Ansatz ist völlig richtig.
aber durch $ [mm] (\tilde P_x [/mm] + [mm] \beta \hat [/mm] P + [mm] \alpha \tilde [/mm] P)=0 $kriegst du doch nur die Koeff. vom [mm] \tilde [/mm] P in Abh. vom [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta, [/mm] den Zusammenhang mit P erst durch die Gl mit [mm] sinh(\beta x)*(....)=sinh(\beta [/mm] x)*P
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:00 Di 07.02.2012 | | Autor: | nhard |
Vielen dank für die Bestätigung :)
Ja also durch meine erste Forderung kann ich alle Koeffizienten von [mm] $\hat [/mm] P$ in Abhängikeit von [mm] $\alpha [/mm] , [mm] \beta,$ [/mm] und den Koeffizienten von [mm] $\tilde [/mm] P$ darstellen.
Durch den vergleich der sinh-Terme erhalte ich dann die Abhängigkeit der Koeffizienten von [mm] $\tilde [/mm] P$ von den Koeffizienten von $P$.
Wenn ich dann ein P gegeben habe, zb [mm] $x^2+1$ [/mm] kann ich daraus auf die Koeffizienten von [mm] $\tilde [/mm] P$ schließen und dann auf die von [mm] $\hat [/mm] P$ und habe so meine Lösung gefunden.
Allerdings habe ich das noch nicht hinbekommnen, weil bei mir komplizierte Rekursionsvorschriften entstehen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 09.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
