Ansätze für Grenzwertaufgaben < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie:
[mm] (i)\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin x -sinh x}{cos x -cosh x}
[/mm]
[mm] (ii)\limes_{x\rightarrow0}(cot(x) [/mm] + [mm] \bruch{1}{e^{-x}-1}) [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich rechne gerade Altklausuren und bin auf diese Aufgaben gestossen, zu denen ich absolut keinen Ansatz finde.
Bei (i) hab ichs mit l'Hospital versucht, aber da dreht man sich nur im Kreis.
Bei (ii)finde ich auch keine Umformung, die mich weiterbringt. Hab schon versucht, cot x durch [mm] \bruch{1}{tan x} [/mm] zu ersetzen, aber das brachte mich auch nicht weiter...
Hat jemand einen Vorschlag oder zwei für mich?
Gruß,
Honko
|
|
| |
|
Hallo Honko!
Klammere in Zähler und Nenner [mm] $\cosh(x)$ [/mm] aus.
Anschließend sich die Definition des [mm] $\tanh(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{sinh(x)}{\cosh(x)}$ [/mm] ansehen und daraus auf den Gesamtgrenzwert schließen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hm... Damit komme ich auf
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{sin(x)}{cos (x)}-tanh(x)}{\bruch{cos (x)}{cosh (x)}-1}
[/mm]
=-1
Kommt das hin?
|
|
|
| |
|
Hallo Honko!
> Hm... Damit komme ich auf
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{sin(x)}{cos (x)}-tanh(x)}{\bruch{cos (x)}{cosh (x)}-1}[/mm]
Im Nenner des "kleinen Bruches" im Zähler muss es natürlich [mm] $\cosh(x)$ [/mm] heißen (mit "h").
> =-1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Überprüfe nochmals das Vorzeichen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{sin(x)}{cosh (x)}-tanh(x)}{\bruch{cos (x)}{cosh (x)}-1}
[/mm]
=1
Oh mann, das kommt davon, wenn man es zu eilig hat... Danke für die Hilfe!
Gruß,
Honko
|
|
|
| |
|
Hallo Honko!
So sieht es schon viel besser aus. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Und bei der zweiten Aufgabe würde ich mit den Anfängen von Potenzreihen rechnen:
[mm]\cot x + \frac{1}{\operatorname{e}^{-x} - 1} = \frac{1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)} + \frac{1}{-x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)} = \frac{1}{x} \left( \frac{1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)} - \frac{1}{1 - \frac{x}{2} + O(x^2)} \right)[/mm]
[mm]= \frac{1}{x} \left( \left( 1 + O(x^2) \right) - \left( 1 + \frac{x}{2} +O(x^2) \right) \right) = \frac{1}{x} \left( - \frac{x}{2} + O(x^2) \right) = - \frac{1}{2} + O(x)[/mm]
EDIT
Fehlerhaftes Vorzeichen nach Intervention von qsxqsx geändert. Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:25 Mi 07.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich glaube im ersten Ausdruck sollte das +1 ein -1 sein, oder? Gruss
cot(x) + [mm] \bruch{1}{e^{-x} - 1}
[/mm]
|
|
|
|
