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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Ernie und Bert besuchen auf dem Rummelplatz einen STand, an dem man Dosen umwerfen muss, Bert behauptet, beim Dosenwerfen sei seine Trefferwahrscheinlichkeit p=0,3.
Ernie bezweifelt Berts Behauptung, weiß aber, dass er gute Gründe haben muss, um ihm zu widersprechen. Also schlägt er einen Test vor, in dem Bert 60mal auf die Dosen werfen soll. Bei bestimmten anzahlen von Treffern soll Bert Recht behalten, bei anderen Trefferzahlen soll Ernie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% behaupten dürfen, dass Bert nicht REcht hat. Ermitteln Sie die entsprechenden Trefferzahlen. |
Guten Tag.
Diese Hyptothesentests, damit habe ich so meine Schwierigkeiten, obwohl wir da einige Formeln gekriegt haben, mit denen man das leicht ausrechnen können sollte. Trotzdem komme ich nicht auf die Lösung, die Formeln lauten
$ u=n*p$
$o = [mm] \wurzel{u*p*(p-1}$
[/mm]
$c=1,64$ ergibt sich aus der Irrtumgswahrscheinlichkeit (ist gegeben)
$A : [ u-c*o ; u+c*o] $
Jo, dann machen wir das einmal, setzen wir alles ein
$ u=n*p$
$ u=60*0,3 = 18$
$o = [mm] \wurzel{60*0,3*0,7}$
[/mm]
$A : [ 18-1,64*c* [mm] \wurzel{60*0,3*0,7} [/mm] ; 18+1,64* [mm] \wurzel{60*0,3*0,7}] [/mm] $
$A : [ 12,18 ; 23,82] $
Nun würde ich aufrunden bzw abrunden
$A : [ 12 ; 24] $
(Müsste ich nicht eigentlich 12,18 auf 13 aufrunden und 23,82 auf 23 abrunden?)
In den Lösungen steht nun aber folgendes - ZITAT
Einseitiger Test mit 5% Irrtumgswahrscheinlichkeit
Bei 0 bis 11 Treffern darf Max behaupten, dass Hans nicht REcht hat und dass seine Trefferwahrscheinlichkeit kleiner ist als 0,3.
Ende ZITAT
Sehe ich vollkommen ein! Bei 12 Treffern - das liegt im Annahmebereich, d.h. die Trefferwahrscheinlichkeit von 0,3 würde gelten, mit einer Abweichungsrate von 5%.
Die Lösung geht aber weiter:ZITAT
Trifft Hans 25 mal oder häufiger, darf Max behaupten, dass Hans nicht Recht hat und dass seine Trefferwahrscheinlichkeit größer ist als 0,3.
Ende ZITAT
Auch das klingt logisch, aber nun kommt der Hammer
ZITAT
Zweiseitiger TEst mit 5% Irrtumgswahrscheinlichkeit:
Nur wenn Hans 11- bis 24-mal trifft, kann seine Hypothese einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,3 beibehalten werden.
Ende ZITAT
Ergibt für mich leider gar keinen Sinn, ich habe 12 bis 24 mal berechnet, ich musste sogar von 12,2 abrunden auf 12! Warum also 11 Mal? Und warum 24? Wo ich doch 23 berechnet habe.
Grüße Johann!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Johann!
> Auch das klingt logisch, aber nun kommt der Hammer
>
> ZITAT
>
> Zweiseitiger TEst mit 5% Irrtumgswahrscheinlichkeit:
> Nur wenn Hans 11- bis 24-mal trifft, kann seine Hypothese
> einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,3 beibehalten
> werden.
> Ende ZITAT
>
> Ergibt für mich leider gar keinen Sinn, ich habe 12 bis 24
> mal berechnet, ich musste sogar von 12,2 abrunden auf 12!
> Warum also 11 Mal? Und warum 24? Wo ich doch 23 berechnet
> habe.
>
Ich habe auch mal gerade die Aufgabe gerechnet und mit Hilfe der [mm] $\sigma$-Umgebungen [/mm] die Grenzen ermitteln wollen. Mit der Formel [mm] $P=P(\mu -z*\sigma \le [/mm] X [mm] \le \mu +z*\sigma)$ [/mm] und eingesetzt [mm] $0,95=P(18-\sqrt{\frac{63}{5}}*1,96 \le [/mm] X [mm] \le 18+\sqrt{\frac{63}{5}}*1,96)=P(11,04 \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 24,96)$.
Wenn ich es hingegen mit Moivre Laplace mache, so muss ja gelten $P(X [mm] \le [/mm] a)=0,025$ und $P(X [mm] \ge [/mm] b)=1-P(X [mm] \le [/mm] b-1)=0,025 [mm] \to [/mm] P(X [mm] \le [/mm] b-1)=0,975$. Ich erhalte für die untere Grenze $a [mm] \to -1,96=\frac{a-17,5}{\sqrt{\frac{63}{5}}} \to [/mm] a=10,5$ und als obere Grenze $b$ [mm] $\frac{b-1+0,5-18}{\sqrt{\frac{63}{5}}} \to [/mm] b=25,46$.
So nun habe ich auch noch einmal exakt gerechnet, also mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass die untere Grenze bei 11 liegt, und die obere bei $25$. Die großen Abweichungen kann ich mir nur durch die Rundungen erklären.
Gruß
Nicolas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Fugre.
> > Auch das klingt logisch, aber nun kommt der Hammer
> >
> > ZITAT
> >
> > Zweiseitiger TEst mit 5% Irrtumgswahrscheinlichkeit:
> > Nur wenn Hans 11- bis 24-mal trifft, kann seine
> Hypothese
> > einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,3 beibehalten
> > werden.
> > Ende ZITAT
> >
> > Ergibt für mich leider gar keinen Sinn, ich habe 12 bis 24
> > mal berechnet, ich musste sogar von 12,2 abrunden auf 12!
> > Warum also 11 Mal? Und warum 24? Wo ich doch 23 berechnet
> > habe.
> >
>
> Ich habe auch mal gerade die Aufgabe gerechnet und mit
Danke, dass du dir die Zeit genommen hast und dich damit so stark beschäftigt hast. Du hast eine Menge gerechnet, aber das hilft mir leider nicht so sehr.
1) Was stimmt denn an meiner Formel nicht? Wieso darf ich die nicht benutzen?
> Hilfe der [mm]\sigma[/mm]-Umgebungen die Grenzen ermitteln wollen.
> Mit der Formel [mm]P=P(\mu -z*\sigma \le X \le \mu +z*\sigma)[/mm]
> und eingesetzt [mm]0,95=P(18-\sqrt{\frac{63}{5}}*1,96 \le X \le 18+\sqrt{\frac{63}{5}}*1,96)=P(11,04 \le X \le 24,96)[/mm].
2) Warum sind das hier 1,96 und in meinem Falle 1,64?
3) Wo sind jetzt die Unterschiede zwischen deiner Formel und meiner Formel?
> Wenn ich es hingegen mit Moivre Laplace mache, so muss ja
> gelten [mm]P(X \le a)=0,025[/mm] und [mm]P(X \ge b)=1-P(X \le b-1)=0,025 \to P(X \le b-1)=0,975[/mm].
> Ich erhalte für die untere Grenze [mm]a \to -1,96=\frac{a-17,5}{\sqrt{\frac{63}{5}}} \to a=10,5[/mm]
> und als obere Grenze [mm]b[/mm]
> [mm]\frac{b-1+0,5-18}{\sqrt{\frac{63}{5}}} \to b=25,46[/mm].
Dieses Moivre-Laplace kenne ich leider gar nicht...Hilft mir daher nicht
> So nun habe ich auch noch einmal exakt gerechnet, also mit
> den kumulierten Wahrscheinlichkeiten und bin zu dem
> Ergebnis gekommen, dass die untere Grenze bei 11 liegt, und
> die obere bei [mm]25[/mm]. Die großen Abweichungen kann ich mir nur
> durch die Rundungen erklären.
Schönen Gruß
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Phoney,
Ich weiss natürlich nicht, wie die Lösungen erarbeitet wurde und wie man euch gesagt hat, das ihr rechnen sollt, aber mein Tipp: die Diskrepanz könnte daher kommen, dass in deinen Lösungen mit Stetigkeitskorrektur gearbeitet wurde. Wenn man die Binomialvert. durch die Normalvert. approxomiert, bekommt man eine bessere Nährung, wenn man von der linken Grenze 0,5 subtrahiert und von bei der rechten 0,5 addiert. Siehe z.b. mal ![[]](/images/popup.gif) hier auf der unteren Hälfte steht was über Stetigkeitskorrektur oder du kannst es selbst noch bisschen er-google-n.
Ist nur ne Vermutung, würde aber passen von den Werten her.
L G walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Sa 15.04.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Phoney,
> Diese Hyptothesentests, damit habe ich so meine Schwierigkeiten,
> obwohl wir da einige Formeln gekriegt haben, mit denen man das
> leicht ausrechnen können sollte. Trotzdem komme ich nicht auf die Lösung,
> die Formeln lauten
> [mm] $\mu [/mm] =n*p$
> [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \wurzel{\mu *p*(p-1)}$
[/mm]
Es muss natürlich heißen [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \wurzel{n *p*(p-1)}$, [/mm] aber unten rechnest Du auch mit der korrekten Formel.
> $c=1,64$ ergibt sich aus der Irrtumgswahrscheinlichkeit (ist gegeben)
An dieser Stelle ($c=1{,}64$) liegt der (teilweise) Denkfehler...
Mach Dir den Unterschied zwischen einseitigem und zweiseitigem Test klar und was das für die Irrtumswahrscheinlichkeit bedeutet:
einseitiger Test
Im Beispiel: Es interessiert hier nur, ob Bert (oder Hans?  ) zu wenige Treffer landet. Wenn Bert zu oft trifft, soll das in Ordnung sein. Das entspräche also eher der Aussage "Bert behauptet, beim Dosenwerfen sei seine Trefferwahrscheinlichkeit p=0,3 oder besser", was zwar - genaugenommen - nicht der Aufgabe entspricht, aber dem realen Beispiel gerecht wird.
Also liegen auch jene 5% unterhalb dieser zu berechnenden Grenze des Annahmebereiches. Daür ist $c=1{,}64$ ok und damit kommst Du auf jene 12,18
zweiseitiger Test
Wenn man die Aufgabe mathematisch genau nimmt, hat Ernie mit seinem Zweifel natürlich auch Recht, wenn Bert zu selten oder zu oft trifft. Somit verteilen sich jene 5% auf "oben und unten", also jeweils 2,5% auf jeder Seite. Damit verschieben sich natürlich auch die Grenzen "nach außen", die untere also etwas weiter nach unten. Für diese nunmehr nur 2,5% gilt aber $c=1{,}96$.
Da liegt der Hase im Pfeffer!
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 So 16.04.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo zusammen.
Dankeschön für die Erklärungen.
Und besonderen Dank an ardik, der hat meine Frage nämlich wohl am besten getroffen, wir haben nämlich nur die von mir angesprochene Formel bekommen und die habe ich überhaupt nicht verstanden. Ich denke das Kernproblem liegt bei mir wirklich bei einseitiger Test oder zweiseitiger Tes...
>
> einseitiger Test
> Im Beispiel: Es interessiert hier nur, ob Bert (oder Hans?
> ) zu wenige Treffer landet. Wenn Bert zu oft trifft,
> soll das in Ordnung sein. Das entspräche also eher der
> Aussage "Bert behauptet, beim Dosenwerfen sei seine
> Trefferwahrscheinlichkeit p=0,3 oder besser", was zwar -
> genaugenommen - nicht der Aufgabe entspricht, aber dem
> realen Beispiel gerecht wird.
> Also liegen auch jene 5% unterhalb dieser zu berechnenden
> Grenze des Annahmebereiches. Daür ist [mm]c=1{,}64[/mm] ok und damit
> kommst Du auf jene 12,18
>
> zweiseitiger Test
> Wenn man die Aufgabe mathematisch genau nimmt, hat Ernie
> mit seinem Zweifel natürlich auch Recht, wenn Bert zu
> selten oder zu oft trifft. Somit verteilen sich jene 5% auf
> "oben und unten", also jeweils 2,5% auf jeder Seite. Damit
> verschieben sich natürlich auch die Grenzen "nach außen",
> die untere also etwas weiter nach unten. Für diese nunmehr
> nur 2,5% gilt aber [mm]c=1{,}96[/mm].
>
> Da liegt der Hase im Pfeffer!
Schön schön, meine Frage war vermutlich schwach formuliert, aber dieser Exkurs hilft mir sehr!
Schöne Ostertage
Gruß
Phoney
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