Angeordneter Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Sei [mm] (\IK, \le) [/mm] ein angeordneter Körper.
Sei p eine Primzahl; dann ist bekanntlich [mm] \IZ_{p} [/mm] = [mm] \{[0],[1],...,[p-1]\} [/mm] ein Körper. Zu zeigen: Es gibt keine Ordnung, die diesen Körper zu einem angeordneten Körper macht. |
Hallo!
Könnte mir hier vielleicht jemand weiterhelfen. Wie kann ich das hier zeigen. Ich komm irgendwie nicht drauf. Muss ich die Eigenschaften überprüfen für einen angeordenten Körper? Ich bin mir da im Moment nicht so sicher!
Kann mir bite jemand Hilfestellung zu meinem Problem geben?
Ich bedanke mich schonmal und viele Grüße, Petrit!
|
|
| |
|
Kleine Bemerkung abseits vom Thema: Es ist schlimm, dass die Schreibweise [mm] $\IZ_p$ [/mm] so sehr verbreitet ist, wo es doch [mm] $\mathbb{F}_p$ [/mm] oder [mm] $\IZ/(p)$gibt. [/mm] Mit [mm] $\IZ_p$ [/mm] ist der ![[]](/images/popup.gif) Ring der p-adischen ganzen Zahlen gemeint und wenn man später mal mit denen zu tun hat, ist es super-verwirrend, wenn man sich [mm] $\IZ_p$ [/mm] als Restklassenkörper gemerkt hat. Das ist natürlich keine Kritik an dir, sondern am Aufgabensteller.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kleine Bemerkung abseits vom Thema: Es ist schlimm, dass
> die Schreibweise [mm]\IZ_p[/mm] so sehr verbreitet ist, wo es doch
> [mm]\mathbb{F}_p[/mm] oder [mm]\IZ/(p)[/mm]gibt. Mit [mm]\IZ_p[/mm] ist der
> Ring der p-adischen ganzen Zahlen
> gemeint und wenn man später mal mit denen zu tun hat, ist
> es super-verwirrend, wenn man sich [mm]\IZ_p[/mm] als
> Restklassenkörper gemerkt hat. Das ist natürlich keine
> Kritik an dir, sondern am Aufgabensteller.
ich mag am Liebsten
[mm] $\IZ/(p\IZ)$ [/mm] (meist als [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] geschrieben)
die man auch in Müller-Stach/Piontkowski "Elementare und algebraische
Zahlentheorie" findet.
In "Algebra" von Meyberg/Karpfingen wird auch mal [mm] $\IZ_p$ [/mm] geschrieben, wobei
ich da gerade nicht weiß, in welchem Zusammenhang das dort verwendet
wird.
(Ich komme leider zu selten dazu, die Bücher weiter durchzuarbeiten!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Petrit,
> Sei [mm](\IK, \le)[/mm] ein angeordneter Körper.
> Sei p eine Primzahl; dann ist bekanntlich [mm]\IZ_{p}[/mm] =
> [mm]\{[0],[1],...,[p-1]\}[/mm] ein Körper. Zu zeigen: Es gibt keine
> Ordnung, die diesen Körper zu einem angeordneten Körper
> macht.
> Hallo!
> Könnte mir hier vielleicht jemand weiterhelfen. Wie kann
> ich das hier zeigen. Ich komm irgendwie nicht drauf. Muss
> ich die Eigenschaften überprüfen für einen angeordenten
> Körper? Ich bin mir da im Moment nicht so sicher!
> Kann mir bite jemand Hilfestellung zu meinem Problem
> geben?
in jedem angeordneten Körper gilt [mm] $1\;>\;0\,.$ [/mm] Nimm' mal an, dass man den Körper
doch anordnen könnte, insbesondere ist also [mm] $[1]\;>\;[0]\,.$ [/mm] Ferner weißt Du sicher,
dass in einem Körper gilt:
Aus
$a [mm] \;>\;0$ [/mm]
folgt
[mm] $-\,a\, \;<\;0.$
[/mm]
(Grob gesagt: Additiv Inverse haben stets echt unterschiedliche Vorzeichen,
sofern es sich nicht um die additive Null handelt.)
Nun gilt aber, weil der Körper oben endlich ist (d.h. nur endlich viele Elemente
hat):
Ist o.E. $[a] [mm] \;>\;[0],$ [/mm] so ist
[mm] $-\;[a]\;=\;[a]\;+\;\sum_{k=1}^N [/mm] [1]$ mit einem $N [mm] \in \IN_0$ [/mm] (mit [mm] $\sum_\varnothing=[0]$).
[/mm]
(Erinnerung: [mm] $\sum_{k=1}^0 \ldots\;=\;\sum_\varnothing \ldots$.)
[/mm]
Erkläre dann, wieso sich dann wegen der Transitivität von [mm] $\le$ [/mm] ein Widerspruch
zu [mm] $-\;[a]\;\;<\;\;[0]$ [/mm] ergibt.
P.S. Natürlich kannst Du auch spezieller Vorgehen:
Wie gesagt ist [mm] $[1]\;>\;[0].$ [/mm] (Satz 2.11, 3. hier: http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV2005.pdf)
Ferner ist wegen [mm] $[1]\;>\;[0]$ [/mm] dann insbesondere [mm] $-\,[1]\;<\;[0].$ [/mm] (Satz 2.11, 1.)
Dann überlege Dir, dass man
[mm] ($\*$) $-\;[1]\;=\;[1]+\sum_{k=1}^N [/mm] [1]$ mit einem $N [mm] \in \IN_0$
[/mm]
schreiben kann.
Mache Dir aber klar, dass nach Definition 2.9, O3 folgt, dass die rechte Seite
von [mm] ($\*$) [/mm] sicher [mm] $\;\ge\;[0]$ [/mm] sein muss.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Ich möchte noch eine alternative Lösung anbieten:
Sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann ist $2=1+1>0$, insbesondere [mm] $\not=0$. [/mm] Seien dann [mm] $a,b\in [/mm] K$, [mm] $a>b_0>0$. [/mm] Man überlegt sich dann leicht, dass [mm] $a>(a+b_0)/2>b$. [/mm] Setze [mm] $b_1=(a+b_0)/2$. [/mm] Dann hat man [mm] $a>(a+b_1)/2$. [/mm] Wiederholt man dies immer weiter, so erhält man unendlich viele Elemente.
Tatsächlich ist nicht nur jeder angeordnete Körper unendlich, sondern man kann zeigen, dass er einen Teilkörper enthält, welcher isomorph zu [mm] $\IQ$ [/mm] ist, und dass er selbst sich als Teilkörper von [mm] $\IR$ [/mm] auffassen lässt.
EDIT: Die zweite Aussage ist falsch. Als Teilkörper von $ IR$ lassen sich nur ARCHIMEDISCH angeordnete Körper ansehen.
Aber was Marcel geschrieben hat reicht natürlich völlig aus 
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich möchte noch eine alternative Lösung anbieten:
>
> Sei [mm]K[/mm] ein angeordneter Körper. Dann ist [mm]2=1+1>0[/mm],
> insbesondere [mm]\not=0[/mm]. Seien dann [mm]a,b\in K[/mm], [mm]a>b_0>0[/mm]. Man
> überlegt sich dann leicht, dass [mm]a>(a+b_0)/2>b[/mm]. Setze
> [mm]b_1=(a+b_0)/2[/mm]. Dann hat man [mm]a>(a+b_1)/2[/mm]. Wiederholt man
> dies immer weiter, so erhält man unendlich viele
> Elemente.
>
> Tatsächlich ist nicht nur jeder angeordnete Körper
> unendlich, sondern man kann zeigen, dass er einen
> Teilkörper enthält, welcher isomorph zu [mm]\IQ[/mm] ist, und dass
> er selbst sich als Teilkörper von [mm]\IR[/mm] auffassen lässt.
ja, das ist auch ein gutes Argument: Man sollte aber hier ein bisschen
genauer erklären, was man mit
[mm] $(a+b_0)/2$
[/mm]
meint. (Bzw. es steckt bei Dir auch mit drin, aber man muss bei Dir halt wissen,
dass [mm] $1=1_K$ [/mm] und [mm] $2=1+1\,$ [/mm] sowas wie [mm] $2_K=1_K+1_K$ [/mm] meint!)
(Siehe Bemerkung 2.12.)
> Aber was Marcel geschrieben hat reicht natürlich völlig aus
Ich finde das relativ "naheliegend" (weil ich mir bei solch' endlichen
Strukturen immer sowas wie "Kreisringe, in denen sich die Elemente
bewegen", vorstelle. Wobei das natürlich nicht unbedingt immer die
mathematische Struktur korrekt wiedergeben muss...).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
