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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Do 13.07.2006 | | Autor: | fornie |
| Aufgabe | Man zeige, dass das Anfangswertproblem [mm] y'(x)=xy(x)^{2} [/mm] , [mm] y(0)=y_{0}
[/mm]
lokal aindeutig lösbar ist. Weiter bestimme man in Abhängigkeit des Anfangwertproblems mit maximalen Definitionsbereich und skizziere den qualitativen Verlauf der Lösungen für die Anfangswerte [mm] y_{0}=-2,-1,0,1,2 [/mm] in einem gemeinsamen Schaubild. |
Hi, erstmal mit welchen Verfahren löse ich das Anfangswertproblem?
Wie zeig ich das das lokal eindeutig lösbar ist?
Und wie soll die Skizze aussehen wie kann ich von den Anfangswerten aus ein Graph zeichen.
Mmh viele Fragen hoffe es kann mir jemand zu ein wenig Durchblick verhelfen.
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Hallo fornie!
Diese DGL kannst Du ziemlich flott mittels Trennung der Variablen lösen:
[mm] $\blue{\integral}{y^{-2} \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{x \ dx}$
[/mm]
Durch die Integration entsteht auch eine Integrationskonstante $C_$ , die Du durch die genannten Anfangswerte bestimmen kannst.
Bei der Zeichnung sollst Du dann die verschiedenen Kurve in ein Koordinatensystem eintragen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Do 13.07.2006 | | Autor: | fornie |
Okay danke erstmal mich hat diese y(x) gestört aber das kann ich ja einfach unbeachtet lassen... jut ich schau mal wie weit ich komm.
Aber eins vllt doch warum und wie soll ich zeigen das es eindeutig lösbar ist das resultiert dann aus dem was ich erhalte oder wie?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 13.07.2006 | | Autor: | fornie |
Also ich hab das jetzt soweit:
[mm] {\integral}{y^{-2} \ dy} [/mm] = [mm] {\integral}{x \ dx} [/mm]
- [mm] \bruch{1}{y}= \bruch{1}{2}*x^{2}+c
[/mm]
y=- [mm] \bruch{1}{ \bruch{1}{2}*x^{2}+c}
[/mm]
bei y(0)= [mm] -\bruch{1}{c}
[/mm]
Stimmt das denn?
naja nun hab ich die Aufgabe ein wenig gesplittet:
z.z. eindeutig lokal lösbar
??
z.z. in Abhängigkeit von [mm] y_{0} [/mm] Lösung des AWP mit maximalen Db
??
z.z.Skizze Verlauf der Lösungen für die AW
[mm] y_{0}= [/mm] -2 -1 0 1 2
mmh betrachte ich da jetzt das
-2=- [mm] \bruch{1}{c} [/mm] s.d. c= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
...
das wäre aber bei 0 nicht definiert
...
oder??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Mo 17.07.2006 | | Autor: | fornie |
kann keiner sagen wie ich zeige das sie eindeutig lokal lösbar ist.
[mm] y_{0}=0 [/mm] ist doch nicht definiert oder?
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Hallo fornie,
> [mm]{\integral}{y^{-2} \ dy}[/mm] = [mm]{\integral}{x \ dx}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{y}= \bruch{1}{2}*x^{2}+c[/mm]
> y=- [mm]\bruch{1}{ \bruch{1}{2}*x^{2}+c}[/mm]
>
> bei y(0)= [mm]-\bruch{1}{c}[/mm]
> Stimmt das denn?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> naja nun hab ich die Aufgabe ein wenig gesplittet:
> z.z. eindeutig lokal lösbar
> ??
Dies ergibt sich aus dem Satz von Picard Lindelöff.
> z.z. in Abhängigkeit von [mm]y_{0}[/mm] Lösung des AWP mit maximalen
> Db
> ??
Der Nenner in deiner Funktion oben kann bestimmt auch 0 werden oder -> Das ergibt eine Einschränkung des Definitionsbereichs.
> z.z.Skizze Verlauf der Lösungen für die AW
> [mm]y_{0}=[/mm] -2 -1 0 1
> 2
> mmh betrachte ich da jetzt das
> -2=- [mm]\bruch{1}{c}[/mm] s.d. c= [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> ...
> das wäre aber bei 0 nicht definiert
Für die 0 ist eine Lösung über Trennung der Veränderlichen nicht möglich man sieht die Lösung aber dann ziemlich direkt. Du kannst ja schonmal die Ableitung an der Stelle 0 ausrechnen und dir überlegen ob man dann die entsprechende Funktion raten kann.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mo 17.07.2006 | | Autor: | fornie |
Muss ich dann einen richtigen Beweis zur eindeutig lokalen lösbarkeit machen? Mit Lipschitz-stetig und was alles dazu nötig ist nach Picard.
Und bei den Skizzen ich erhalte doch dann aber nur Punkte?
[mm] y_{0}=-2 [/mm] /to c=1/2
oder muss ich nun die ganze Funktion zeichnen in dem Fall y=- [mm] \bruch{1}{0,5*x^{2}}
[/mm]
Bei dem mit Null kann ich ja nur aus der Ausgangsgleichung schließen da ja sonst nur Brüche wären.
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Hallo fornie,
> Muss ich dann einen richtigen Beweis zur eindeutig lokalen
> lösbarkeit machen? Mit Lipschitz-stetig und was alles dazu
> nötig ist nach Picard.
Ja, die Voraussetzungen prüfen. Hier hilft aber:
ist die "rechte Seite" der DGL stetig diffbar in y und die Ableitung beschränkt dann ist sie auch Lipschitz stetig in y.
> Und bei den Skizzen ich erhalte doch dann aber nur Punkte?
> [mm]y_{0}=-2[/mm] /to c=1/2
> oder muss ich nun die ganze Funktion zeichnen in dem Fall
> y=- [mm]\bruch{1}{0,5*x^{2}}[/mm]
Ich denke mal Du solltest die Funktionen einzeichnen.
> Bei dem mit Null kann ich ja nur aus der Ausgangsgleichung
> schließen da ja sonst nur Brüche wären.
Für die Anfangsbedingung [mm] y_0=0 [/mm] kannst Du nur aus der DGL direkt die Lösung finden.
viele Grüße
mathemaduenn
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