Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mo 28.02.2011 | | Autor: | M-Ti |
Hallo!
Ich rechne gerade folgende Aufgabe:
[mm] q'=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }q [/mm] und [mm] q(0)=\vektor{-2 \\ 2}
[/mm]
Ich soll die Lösung des Anfangswertproblems bestimmen und ggf. in einen rein reellwertigen Ausdruck umwandeln.
Das ist was ich schon habe:
[mm] \vektor{sY_1+2 \\ sY_2+2}=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }\vektor{Y_1 \\ Y_2}
[/mm]
[mm] \pmat{ s & 0 \\ 0 & s } \vektor{Y_1 \\ Y_2} -\vektor{-2 \\ 2}=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } \vektor{Y_1 \\ Y_2}
[/mm]
[mm] \pmat{ s & -1 \\ 1 & s } \vektor{Y_1 \\ Y_2}=\vektor{-2\\ 2}
[/mm]
Det [mm] \pmat{ s & -1 \\ 1 & s } =s^2+1
[/mm]
[mm] \vektor{Y_1 \\ Y_2}=\bruch{1}{s^2+1} \pmat{ s & 1 \\ -1 & s } \vektor{-2 \\ 2}=\bruch{1}{s^2+1} \pmat{ -2s & 2 \\ 2 & 2s }=\vektor{ \bruch{-2s+2}{s^2+1}\\ \bruch{2+2s}{s^2+1}}
[/mm]
und jetzt weiss ich nicht mehr weiter... Wie geht es weiter und was ist hier mit - in einen rein reellwertigen Ausdruck umwandeln - gemeint?
Ich hoffe jemand kann mir helfen, schreibe bald meine Prüfung.
Besten Dank und freundliche Grüße
M-Ti
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Hallo M-Ti,
> Hallo!
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> Ich rechne gerade folgende Aufgabe:
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> [mm]q'=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }q[/mm] und [mm]q(0)=\vektor{-2 \\ 2}[/mm]
>
> Ich soll die Lösung des Anfangswertproblems bestimmen und
> ggf. in einen rein reellwertigen Ausdruck umwandeln.
>
> Das ist was ich schon habe:
>
> [mm]\vektor{sY_1+2 \\ sY_2+2}=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }\vektor{Y_1 \\ Y_2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ s & 0 \\ 0 & s } \vektor{Y_1 \\ Y_2} -\vektor{-2 \\ 2}=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } \vektor{Y_1 \\ Y_2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ s & -1 \\ 1 & s } \vektor{Y_1 \\ Y_2}=\vektor{-2\\ 2}[/mm]
>
> Det [mm]\pmat{ s & -1 \\ 1 & s } =s^2+1[/mm]
>
> [mm]\vektor{Y_1 \\ Y_2}=\bruch{1}{s^2+1} \pmat{ s & 1 \\ -1 & s } \vektor{-2 \\ 2}=\bruch{1}{s^2+1} \pmat{ -2s & 2 \\ 2 & 2s }=\vektor{ \bruch{-2s+2}{s^2+1}\\ \bruch{2+2s}{s^2+1}}[/mm]
>
> und jetzt weiss ich nicht mehr weiter... Wie geht es weiter
Zerlege die rechte Seite so in Partialbrüche,
daß Du davon die inverse Laplace-Transformierte
bilden kannnst.
> und was ist hier mit - in einen rein reellwertigen Ausdruck
> umwandeln - gemeint?
Wenn das ohne Laplace-Transfomation rechnest.
dann gibt es komplexe Eigenwerte und demnach
auch komplexe Lösungen.
Diese komplexe Lösungen kann man
durch geschickte Wahl der zugehörigen
Konstanten in eine reelle Lösung umwandeln.
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> Ich hoffe jemand kann mir helfen, schreibe bald meine
> Prüfung.
>
> Besten Dank und freundliche Grüße
> M-Ti
Gruss
MatehPower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mi 02.03.2011 | | Autor: | M-Ti |
Hey Mathepower,
besten Dank für deine schnelle Rückmeldung.
Ehrlich gesagt weiss ich nicht was du mit "inverse Laplace-Transformierte" meinst, das höre ich zum 1. Mal
[mm] \bruch{-2s+2}{s^2+1}=\bruch{As+B}{s^2+1}
[/mm]
[mm] \bruch{2+2s}{s^2+1}=\bruch{Cs+d}{s^2+1}
[/mm]
--> A=-2 B=2 C=2 und D=2
kann man direkt ablesen, aber das ist sicherlich nicht das was du meinst.
Geht das mit den Eigenwerten leichter in diesem Fall? Unser Prof hat uns solche Aufgabentypen (ohne das es komplex wird) mit Laplace-Transformation gezeigt und meinte das ist einfacher.
PS: Ich schreibe übermorgen eine andere Prüfung und habe gerade nicht so viel Zeit Mathe zu lernen, also kann wieder einige Tage dauern bis ich antworte bzw. deine Hilfe umsetzen kann.
Gruß M-Ti
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Hallo M-Ti,
> Hey Mathepower,
>
> besten Dank für deine schnelle Rückmeldung.
>
> Ehrlich gesagt weiss ich nicht was du mit "inverse
> Laplace-Transformierte" meinst, das höre ich zum 1. Mal
Die Umkehrung der Laplace-Transformation.
Die Laplace-Transformation geht vom Orignialbereich in den Bildbereich.
Dann geht die inverse Laplace-Transformation
vom Bildbereich in den Orginalbereich.
>
> [mm]\bruch{-2s+2}{s^2+1}=\bruch{As+B}{s^2+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2+2s}{s^2+1}=\bruch{Cs+d}{s^2+1}[/mm]
>
> --> A=-2 B=2 C=2 und D=2
> kann man direkt ablesen, aber das ist sicherlich nicht das
> was du meinst.
Zerlege das so:
[mm]\bruch{-2s+2}{s^2+1}=A*\bruch{s}{s^2+1}+B*\bruch{1}{s^2+1}[/mm]
Von den Bildfunktionen [mm]\bruch{s}{s^2+1}[/mm] bzw. [mm]\bruch{1}{s^2+1}[/mm]
sind die Originalfunktionen bekannt.
>
> Geht das mit den Eigenwerten leichter in diesem Fall? Unser
> Prof hat uns solche Aufgabentypen (ohne das es komplex
> wird) mit Laplace-Transformation gezeigt und meinte das ist
> einfacher.
>
> PS: Ich schreibe übermorgen eine andere Prüfung und habe
Viel Erfolg.
> gerade nicht so viel Zeit Mathe zu lernen, also kann wieder
> einige Tage dauern bis ich antworte bzw. deine Hilfe
> umsetzen kann.
>
> Gruß M-Ti
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Do 03.03.2011 | | Autor: | M-Ti |
Vielen Dank!
Wäre das also z.B. als: [mm] F(s)=B*\bruch{1}{s^2+1}=\bruch{3}{4} [/mm] wird zu B*sin(t) mit B=2 --> y(t)=2*sin(t)?
Wäre die Aufgabe dann gelöst, wenn ich das für alle Partialbrüche mache? Das war jetzt nur exemplarisch...?
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Hallo M-Ti,
> Vielen Dank!
> Wäre das also z.B. als:
> [mm]F(s)=B*\bruch{1}{s^2+1}=\bruch{3}{4}[/mm] wird zu B*sin(t) mit
> B=2 --> y(t)=2*sin(t)?
Ja.
>
> Wäre die Aufgabe dann gelöst, wenn ich das für alle
> Partialbrüche mache? Das war jetzt nur exemplarisch...?
>
Ebenfalls ja.
Gruss
MathePower
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