Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Di 16.10.2007 | | Autor: | Savoyen |
| Aufgabe | Bestimme die Lösung des Anfangswertproblemes
y'(t) = 2t [mm] \sqrt{1-y^2(t)}, [/mm] y(0)=0 auf dem Intervall [mm] [-\sqrt{\frac{\pi}{2}},\sqrt{\frac{\pi}{2}}] [/mm] |
Hallo. Ich stehe hier echt auf dem Schlauch und habe echt so etwas von keinen Plan. Ich habe es mal so versucht $y'(t) - 2t [mm] \sqrt{1-y^2(t)} [/mm] = 0$
g(t) = 0
f(t) = 2t
F(t) = [mm] t^2
[/mm]
[mm] e^{F(t)}g(t) [/mm] = 0
[mm] \int^t_0 e^{F(t)}*0 [/mm] dt = t
Mein anderer Versuch y'(t) = 2t [mm] \sqrt{1-y^2(t)} [/mm] = [mm] \sqrt{4t^2}\sqrt{1-y^2(t)} [/mm] = [mm] \sqrt{4t^2-4t^2y^2(t)} [/mm] hilft auch nicht.
Wie kann ich das lösen?
Danke schon ma
Tschüss,
Savo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 16.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Savo!
Du kommst hier mit der Methode "Trennung der Variablen" zum Ziel:
$$y' \ = \ [mm] 2t*\sqrt{1-y^2}$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{dy}{dt} [/mm] \ = \ [mm] 2t*\sqrt{1-y^2}$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{dy}{\sqrt{1-y^2}} [/mm] \ = \ 2t*dt$$
[mm] $$\blue{\integral}\bruch{dy}{\sqrt{1-y^2}} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}2t [/mm] \ dt$$
Für das Integral auf der linken Seite nun $y \ := \ [mm] \sin(u)$ [/mm] substituieren.
Gruß
Loddar
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