Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man löse folgendes Anfangswertproblem:
y´= (cos(ln x)/x) [mm] e^y [/mm] , y(e^-pie/2)=-ln 2
Hier ist das in der Variablen x auftretende Integral mittels der Substitutionsregel (ln x = t) zu bestimmen.. |
kann mir jmd weiterhelfen wie ich bei dieser aufgabe vorgehe?'..vielen dank..mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Mi 30.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen sandrihho!
Zunächst einmal gehen wir hier vor nach der Methode "Trennung der Variablen":
$y' \ = \ [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos[\ln( x)]}{x}*e^y$
[/mm]
[mm] $\bruch{dy}{e^y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos[\ln( x)]}{x}*dx$
[/mm]
[mm] $\blue{\integral}{e^{-y} \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{\bruch{\cos[\ln( x)]}{x} \ dx}$
[/mm]
Nun wird auf beiden Seiten der Gleichung also integriert. Dabei ist für die rechte Seite bereits ein Hinweis gegeben mit der Substitution $t \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] .
Damit müssen wir nun auch das [mm] $d\red{x}$ [/mm] durch ein [mm] $d\red{t}$ [/mm] ersetzen:
$t' \ = \ [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \ln(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ x*dt$
Nun setzen wir also ein:
[mm] $\integral{e^{-y} \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{\cos[\red{t}]}{x} \ * \ \red{x*dt}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{\cos(t)}{\red{1}} * \red{1} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\cos(t) \ dt}$
[/mm]
Nun also wirklich integrieren ... anschließend resubstituieren und dann die Integrationskonstante mit der Angabe [mm] $y\left(e^{-\bruch{\pi}{2}}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\ln( [/mm] 2)$ bestimmen.
Gruß
Loddar
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