(Anfängerfrage) DGL-System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen sie folgende System von DGLen
y'_{1} = [mm] y_{1} [/mm] + [mm] 2y_{2}
[/mm]
y'_{2} = [mm] 2y_{1} [/mm] + [mm] y_{2}
[/mm]
bzw y'(t) = A y mit A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
(Wir hatten dabei den Satz:
Hat A n lin. unabh. Eigenvektoren [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] zu Eigenwerten [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n}, [/mm] so gibt es n lin. unabh. Lösungen [mm] e^{\lambda_{i}t}*v_{i}.) [/mm] |
Ok, die EW sind 3 und -1, die EW dazu sind (1,1) und (-1,1); beide also lin. unabh.
Aber was bekomme ich dann als Lösung(en)?
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] e^{\lambda_{1}t}*v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{e^{3t} \\ e^{3t}}
[/mm]
[mm] y_{2} [/mm] = [mm] e^{\lambda_{2}t}*v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-e^{-t} \\ e^{-t}}
[/mm]
Reicht das schon?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mi 10.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Also weil dein System gekoppelt ist, entkoppelst du es indem du die Eigenwerte bestimmst.
Weil A = [mm] T^{-1}*D*T [/mm] kannst du das Umformen. Dabei substituierst du T*y := s
und erhälst so s' = D*s
Du löst nach s auf. Weil die Matrix D diagonal ist kannst du eben einfach exp(Eigenwert) machen. Dabei solltest du die Integrationskonstanten nicht vergessen...
Jetzt hast du s und weisst dass T*y = s. Nach y auflösen...
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> Hallo,
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> Also weil dein System gekoppelt ist, entkoppelst du es
> indem du die Eigenwerte bestimmst.
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> Weil A = [mm]T^{-1}*D*T[/mm] kannst du das Umformen. Dabei
> substituierst du T*y := s
> und erhälst so s' = D*s
> Du löst nach s auf. Weil die Matrix D diagonal ist kannst
> du eben einfach exp(Eigenwert) machen. Dabei solltest du
> die Integrationskonstanten nicht vergessen...
>
> Jetzt hast du s und weisst dass T*y = s. Nach y
> auflösen...
>
Ich hab das noch nicht so ganz verstanden. Was sind das für Matrizen D und T und wie setzen die sich zusammen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Sa 13.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
Mal so im Voraus: der Begriff Diagonalmatrix sagt dir etwas? Du solltest ein Grundverständnis von Matrizen haben um das so zu lösen.
Also...du hasst doch im Prinzip ein lineares Gleichungssystem gegeben, welches im Unterschied zu Normalen Differenzialgleichungen enthält. Jetzt schreibst du die rechte Seite deines Gleichungssystem als 2x2 Matrix.
So du hast eine Matrix. Und jetzt werden die Vorteile dieser Behandlung als Matrix genutzt. Du Diagonalisierst diese Matrix sodass du nacher eben die genannte Form erhälst, in der die Matrix A durch eine Multiplikation von 3 Matrizen dargestellt ist.
Die Matrix D ist eine Diagonalmatrix, welche in ihren Diagonalen die Eigenwerte dieser Matrix A enthält!
Wie ich in meinem ersten Beitrag gezeigt habe kann man das so Umformen, dass man ein Gleichungssystem wie folgt lösen muss:
z' = D * z, wobei z ein Vektor [mm] \vektor{z1 \\ z2} [/mm] ist.
Jetzt ist das aber viel einfacher zu lösen als y'=A*y weil D eine Diagonalmatrix ist d.h. die Gleichungen sind voneinander getrennt:
z1' = Eigenwert1 * z1, wobei z1 eine Funktion ist.
z2' = Eigenwert2 * z2, wobei z2 eine Funktion ist.
Du löst diese Differentialgleichungen. Jetzt musst du diese Lösungen aber wieder in die Ursprüngliche Form überführen, da ja z nur eine Substitution ist.
Ist vielleicht ein bisschen viel aufs mal. Im Internet steht noch so einiges dazu.
Gruss
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Super, Danke!
Wenn mein A dann n=2 verschiedene Eigenwerte hat, dann ist doch mein D eine Matrix, die nur die EW auf der Diagonalen hat, oder? Und mein T (und T^-1) besteht dann aus den Eigenvektoren :)
Aber jetzt habe ich eine weitere Frage: Wie verhält sich das, wenn ich am Anfang nicht genug linear unabhängige/verschiedene Eigenwerte/-vektoren habe?
Diagonalisieren geht doch nur wenn ich auch wirklich n paarweise verschiedene EW habe, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 So 14.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Genau, du hast es gerafft...
Du stellst Eigenvektoren in die Matrix T in der Gleichen Reihenfolge wie du die Eigenwerte in D hast, übrigens.
T ist übrigens immer regulär bzw. invertierbar mit diesen Eigenvektoren drin sofern die Matrix diagonalisierbar ist. Aber frag mich nicht wie man das beweist; ). Irgendwie mit linear unabhängigen Eigenvektoren? Da wären wir bei deiner Frage...
Ich zitiere aus Web: "Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit."
Da steht jedenfalls nicht, dass es nicht doppelte Eigenwerte geben darf!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Do 11.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Lösen sie folgende System von DGLen
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> y'_{1} = [mm]y_{1}[/mm] + [mm]2y_{2}[/mm]
> y'_{2} = [mm]2y_{1}[/mm] + [mm]y_{2}[/mm]
>
> bzw y'(t) = A y mit A = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }[/mm]
>
>
> (Wir hatten dabei den Satz:
> Hat A n lin. unabh. Eigenvektoren [mm]v_{1},...,v_{n}[/mm] zu
> Eigenwerten [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{n},[/mm] so gibt es n lin.
> unabh. Lösungen [mm]e^{\lambda_{i}t}*v_{i}.)[/mm]
> Ok, die EW sind 3 und -1, die EW dazu sind (1,1) und
> (-1,1); beide also lin. unabh.
>
> Aber was bekomme ich dann als Lösung(en)?
>
> [mm]y_{1}[/mm] = [mm]e^{\lambda_{1}t}*v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{e^{3t} \\ e^{3t}}[/mm]
>
> [mm]y_{2}[/mm] = [mm]e^{\lambda_{2}t}*v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-e^{-t} \\ e^{-t}}[/mm]
>
> Reicht das schon?
Fast. Die allgemeine Lösung des Systems lautet: $y= [mm] c_1y_1+c_2y_2$ ($c_1,c_2 \in \IR$)
[/mm]
FRED
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> >
> > Reicht das schon?
>
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> Fast. Die allgemeine Lösung des Systems lautet: [mm]y= c_1y_1+c_2y_2[/mm]
> ([mm]c_1,c_2 \in \IR[/mm])
>
Wie kommt man darauf? Müsste ich nicht 2 (unterschiedliche) Lösungen bekommen die voneinander unabhängig sind?
Ich bin noch bei
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> [mm]y_{1}[/mm] = [mm]e^{\lambda_{1}t}*v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{e^{3t} \\ e^{3t}}[/mm]
>
> [mm]y_{2}[/mm] = [mm]e^{\lambda_{2}t}*v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-e^{-t} \\ e^{-t}}[/mm]
>
aber wie ich damit weitermachen soll, weiß ich nicht. Vor allem die Vektoren stören mich hier.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Sa 13.03.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Reicht das schon?
> >
> >
> > Fast. Die allgemeine Lösung des Systems lautet: [mm]y= c_1y_1+c_2y_2[/mm]
> > ([mm]c_1,c_2 \in \IR[/mm])
> >
>
>
> Wie kommt man darauf? Müsste ich nicht 2
> (unterschiedliche) Lösungen bekommen die voneinander
> unabhängig sind?
Na, die Menge der Loesungen bilden einen Vektorraum. Deine zwei unabhaengigen Loesungen [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] sind eine Basis dieses Vektorraums. Sprich, alle Loesungen ergeben sich als Linearkombinationen dieser beiden Loesungen.
> Ich bin noch bei
>
> >
> > [mm]y_{1}[/mm] = [mm]e^{\lambda_{1}t}*v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{e^{3t} \\ e^{3t}}[/mm]
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> >
> > [mm]y_{2}[/mm] = [mm]e^{\lambda_{2}t}*v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-e^{-t} \\ e^{-t}}[/mm]
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> >
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> aber wie ich damit weitermachen soll, weiß ich nicht. Vor
> allem die Vektoren stören mich hier.
Deine Namensgebung ist unguenstig: [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] sollen die Komponenten des Vektors sein. Du hast mit [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] zwei verschiedene Vektoren bezeichnet.
Die Loesung ist zumindest ein Vektor von Funktionen [mm] $\IR \to \IR$, [/mm] den du auch als Funktion [mm] $\IR \to \IR^2$ [/mm] auffassen kannst. Wenn du nun eine allgemeine Linearkombination deiner beiden Fundamentalloesungen (so nennt man eine Basis von Loesungen) hinschreibst, so wie Fred dies getan hat, bist du fertig.
LG Felix
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