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| Aufgabe | Gegeben seien folgende Funktionen (monopolistisches Absatzszenario):
Kostenfunktion K(x) = 1000 + 90x - [mm] 1,5x^2 [/mm] + [mm] 0,02x^3
[/mm]
Preis-Absatzfunktion: p = p(x) = 220 - x
Es gibt eine Kapazitätsgrenze bei x = 100 Stück/Periode
Berechnen Sie:
- Die Gewinnschwelle, das Gewinnmaximum und die Gewinngrenze
- Betriebsoptimum und Betriebsminimum
- Die langfristige und die kurzfristige Preisuntergrenze bei x = 50 |
Hallo liebe Community,
ich komme hier absolut nicht weiter. Ich wäre über Tipps, bzw. Lösungsansätze sehr dankbar...
Vielen Dank vorab!!!
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Hi KlausFritz,
> Gegeben seien folgende Funktionen (monopolistisches Absatzszenario):
> Kostenfunktion K(x) = 1000 + 90x - [mm] 1,5x^{2} [/mm] + [mm] 0,02x^{3}
[/mm]
> Preis-Absatzfunktion: p = p(x) = 220 - x
> Es gibt eine Kapazitätsgrenze bei x = 100 Stück/Periode
> Berechnen Sie:
> - Die Gewinnschwelle, das Gewinnmaximum und die Gewinngrenze
> - Betriebsoptimum und Betriebsminimum
> - Die langfristige und die kurzfristige Preisuntergrenze bei x = 50
Bevor wir anfangen zu rechnen, sollte wir uns die gesuchten Werte einmal näher ansehen und schauen, worum es sich jeweils handelt. Hier erst einmal die Definitionen:
1) Gewinnschwelle: Ist die Menge an abgesetzten Gütern, ab der Gewinn erzielt wird. Eine Einheit weniger verkauft würde bedeuten, man befindet sich in der Verlustzone.
2) Gewinnmaximum: Bei dieser Ausbringungsmenge wird der maximalste Gewinn im Unternehmen erzielt.
3) Gewinngrenze: Bei dieser Menge endet die sog. "Gewinnlinse", und die Menge stellt die letzte Ausbringungsmenge dar, bei der Gewinn erzielt wird. Eine Einheit mehr verkauft, würde bedeuten man erzielt Verlust.
4) Betriebsoptimum: Hier liegt das Minimum der durchschnittlichen Kosten vor. (X-Wert) -> Das Verhältnis zwischen Gesamtkosten und der Ausbringungsmenge ist hier am günstigsten!
5) Betriebsminimum: Hier liegt das Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten vor. (X-Wert)
6) Langfristige PUG: Hier liegt das Minimum der durchschnittlichen Kosten vor. (Y-Wert) -> Diese Menge kann der Anbieter langfristig anbieten, und überlebt am Markt.
7) Kurzfristige PUG: Hier liegt das Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten vor. (Y-Wert) -> Diese Menge kann der Anbieter nur kurzfristige anbieten, ansonsten wird er bald den Markt verlassen müssen (Insolvenz).
-> Nachdem wir nun diese grundlegenden Begrifflichkeiten geklärt haben, geht es ans Rechnen *smile*!
Um die Werte für 1) - 3) ermitteln zu können, müssen wir die Gewinnfunktion G(x) erstellen. Diese kann man so erzeugen: G(x) = E(x) - K(x)
K(x) haben wir gegeben, E(x) müssen wir noch erzeugen. Dies können wir, indem man im Monopol sagt das p(x) * x = E(x) -> E(x) = [mm] -x^{2} [/mm] + 220x
Nun G(x) ermitteln: G(x) = K(x) - E(x) -> G(x) = [mm] (0,02x^{3} [/mm] - [mm] 1,5x^{2} [/mm] + 90x + 1000) - [mm] (-x^{2} [/mm] + 220x) -> G(x) = [mm] 0,02x^{3} [/mm] - [mm] 0,5x^{2} [/mm] - 130x + 1000
Da wir nun G(x) ermittelt haben, können wir ohne weiteres 1) und 3) ermitteln. Dies sind nämlich dann die Nullstellen im positiven Mengenbereich. Also hier:
G(x) = 0 -> 0 = [mm] 0,02x^{3} [/mm] - [mm] 0,5x^{2} [/mm] - 130x + 1000
Wenn du die Nullstellen, die positiv sind ermittelt hast, hast du für den kleineren Wert den Wert für 1) und beim Größeren den Wert für 3). (Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste man das mit einem Näherungsverfahren lösen... z.B. Newton o.ä. -> Polynomdivison wird da nicht mehr klappen!)
Weiterhin kannst du nun Das Gewinnmaximum ermitteln, in dem due für G'(x) die Nullstellen ermittelst. Auch hier gilt, nur positive Werte für die Menge zu beachten... Würde ja nicht gehen, negative Mengen zu verkaufen. Es wird zwei Extrema geben... Einer der beiden ist für dich relevant, und zwar der der im Bereich von [mm] [0;\infty) [/mm] liegt! Nun hast du die Werte für 1) - 3) heraus.
Weiter gehts mit 4) und 6). Hierzu musst du die Stückkosten k(x) ermitteln. Dies tust du über folgenden Weg: k(x) = [mm] \bruch{K(x)}{x} [/mm] -> Nun ermittelst du den Tiefpunkt dieser Funktion. Der X-Wert ist das Betriebsoptimum, der Y-Wert die langfristige PUG.
Zu 5) und 7): Hierzu benötigst du die variablen Stückkosten kv(x). Diese ermittelst du so: kv(x) = [mm] \bruch{Kv}{x} [/mm] -> Nun ermittelst du wieder den Tiefpunkt der Funktion, dann hast du für den X-Wert das Betriebsminimum und für den Y-Wert die kurzfristige PUG.
-> Ich denke nun solltest du dies alleine hinbekommen. Die einzigen Schwierigkeiten könnten beim Näherungsverfahren zur Ermittlung von 1) und 3) auftauchen, je nachdem wie fit du in dem Bereich bist.
-> Falls du Fragen haben solltest, scheue dich nicht sie zu stellen! *grins*
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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Wow, erst einmal vielen herzlichen Dank für diese schnelle und ausformulierte Hilfe.
Bin gerade dabei das nachzurechnen, aber bin grad auf einen Wiederspruch gestoßen -> Hier sagen Sie:
Um die Werte für 1) - 3) ermitteln zu können, müssen wir die Gewinnfunktion G(x) erstellen. Diese kann man so erzeugen: G(x) = E(x) - K(x)
ALSO -> G = E - K
Nun G(x) ermitteln: G(x) = K(x) - E(x) -> G(x) = $ [mm] (0,02x^{3} [/mm] $ - $ [mm] 1,5x^{2} [/mm] $ + 90x + 1000) - $ [mm] (-x^{2} [/mm] $ + 220x) -> G(x) = $ [mm] 0,02x^{3} [/mm] $ - $ [mm] 0,5x^{2} [/mm] $ - 130x + 1000
und hier G = K - E
Ist da ein Fehler unterlaufen oder bin ich zu blöd?
Vielen Dank 
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Hi,
> Ist da ein Fehler unterlaufen oder bin ich zu blöd?
Achso, da habe ich die Reihenfolge verwechselt. NEIN, spielt keine Rolle wie rum man das rechnet, kommt das Selbe heraus. Kannst du ja ausprobieren...
Ob nun G(x) = K(x) - E(x) oder G(x) = E(x) - K(x) ist egal!
Liebe Grüße
Analytiker
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Bis jetzt komme ich gut zurecht. Aber nun hänge ich wieder fest. Bin bei 4-6 also die Stückkosten k(x) zu ermitteln. Und zwar habe ich für k(x):
k(x) = 1000/x + 90 - 1,5x + 0,02 [mm] x^2
[/mm]
k'(x) = [mm] -1000/x^2 [/mm] + 0,04x - 1,5
k'(x)=0
Meine Frage bezieht sich jetzt auf das Ausrechnen. Wie gebe ich den ersten Wert [mm] (-1000/x^2) [/mm] in den Taschenrechner ein? Verstehe das leider nicht so richtig...
Vielen Dank für die Info. schonmal vorab!!!
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Hi,
> Bis jetzt komme ich gut zurecht.
sehr schön ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !!!
Du könntest ja anstatt -> 0 = [mm] -\bruch{1000}{x^{2}} [/mm] + 0.94x - 1,5 auch schreiben:
0 = [mm] 0.04x^{3} [/mm] - [mm] 1.5x^{2} [/mm] - 1000
Dann kannst du wie gewohnt die Nullstellen ermitteln!
Liebe Grüße
Analytiker
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Super klasse! Ich habe es endlich heraus!!!
Vielen vielen Dank nochmals für die Hilfe, es ist echt immer wieder bewundernswert wie schnell und klasse man hier geholfen bekommt!!!
Macht weiter so!
Grüße!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 So 08.07.2007 | | Autor: | VNV_Tommy |
Hallo Analytiker,
> Ob nun G(x) = K(x) - E(x) oder G(x) = E(x) - K(x) ist
> egal!
Nun, man mag mich pingelich nennen  , aber diese Aussage kann ich nicht unterstützen. Für die Bestimmung der Nullstellen mag es irrelevant sein, wie die Differenz gebildet wird, generell ist aber von der Formel [mm]G(x)=E(x)-K(x)[/mm] auszugehen.
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 So 08.07.2007 | | Autor: | Analytiker |
Hi Tommy,
Natürlich hast du aus ökonomischer Sicht Recht, keine Frage. Aber mathematisch macht es hier erst einmal keinen Unterschied, und ich wollte den Ratsuchenden nicht weiter verwirren, bis die Aufgabe fertig gelöst ist. Ich bitte um Entschuldigung, da ich mir diese Ungenauigkeit erlaubt habe...
Liebe Grüße
Analytiker
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Ach, die Frage von eben hat sich erledigt. Stand auf dem Schlauch, muss einfach umstellen, also mit [mm] x^2 [/mm] multiplizieren... Mal schauen obs nun weiter geht, werde dann berichten... :)
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