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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 So 12.12.2010 | | Autor: | Dust |
| Aufgabe | 2. Es seien die Punkte [mm] A(1|1|0) , B(-1|2|1) und C(2|-2| 3) gegeben.[/mm].
2a) Es gibt eine eindeutig bestimmte Ebene E, in welcher alle drei Punkte liegen. Geben Sie für E eine Ebenengleichung in Parameter- und eine Ebenengleichung in Koordinatenform an.
2b) Zusätzlich sei der Punkt [mm] D(0|5|0) [/mm] gegeben. Geben Sie eine Gleichung derjenigen Geraden an, die durch D geht und auf der Ebene E senkrecht steht.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt F von g und E und geben Sie den Abstand von D zur Ebene E an. |
Hallo,
Zu Aufgabe 2a).
[mm] \vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
Die Ebene E wird durch die Gleichung
[mm] \vec x = \vec a + r * ( \vec b - \vec a) + s * ( \vec c - \vec a) r , s \in \IR [/mm]
beschrieben.
Mache ich hier den richtigen Ansatz ?
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruss Dust
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 So 12.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
hi^^
wenn du ein komma vor dem letzten r vergessen hast dann ist der Ansatz sehr richtig^^
wie einer aus meiner klasse mal sagt "arbasca muss man immer machen"
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
[mm] E : \vec x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm] r * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm] s * \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] E : \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
Das führt zu dem LGS in den drei Unbekannten [mm] x_1 , x_2 [/mm] und [mm] x_3[/mm]
[mm] x_1 = 1 - 2r + s [/mm]
[mm] x_2 = 1 + r -3s [/mm]
[mm] x_3 = r + 3s [/mm]
[mm] x_1 = 1 -2r + s [/mm] +2r ; [mm] - x_1 [/mm]
[mm] 2r = 1 + s - x_1 [/mm] : 2
[mm] r = \bruch{1} {2} + \bruch{1} {2} s - \bruch{1} {2} x_1 [/mm]
r eingesetzt in [mm] x_2 [/mm]
[mm] x_2 = 1 + r - 3s [/mm]
[mm] x_2 = 1 + 0.5 + 0,5s - 0,5x_1 - 3s [/mm]
[mm] x_2 = 1.5 - 0,5x_1 - 2,5s [/mm] + 2 ,5s ; [mm] -x_2 [/mm]
[mm]2,5s = 1.5 - 0,5x_1 - x_2 [/mm] : 2,5
[mm] s = \bruch{1.5} {2.5} - \bruch{0,5} {2,5} x_1 - \bruch{1} {2,5} x_2 [/mm]
[mm] s = 0,6 - 0,2 x_1 - 0,4x_2 [/mm]
s und r eingesetzt in [mm] x_3 [/mm]
[mm] x_3 = r + 3s [/mm]#
[mm] x_3 = 0,5 + 0,5s - 0,5x_1 + 3s [/mm] | 3s + 0,5s
[mm] x_3 = 0,5 - 0,5x_1 + 3,5 * ( 0,6 - 0,2x_1 - 0,4x_2 [/mm]
[mm] x_3 = 0,5 - 0,5x_1 + 3,5 * 0,6 + 3,5 * -0,2x_1 + 3,5 * - 0,4x_2 [/mm]
[mm] x_3 = 0,5 - 0,5x_1 + 2,1 - 0,7x_1 -1,4x_2 [/mm]
[mm] x_3 = 2,6 -1,2x_1 -1,4x_2 [/mm] -2,6 ; [mm] -x_3[/mm]
[mm] -2,6 = -1,2x_1 - 1,4x_2 - x_3 [/mm] : -2,6
[mm] 1 = \bruch{6} {13} x_1 + \bruch{7} {13}x_2 + \bruch{5} {13} x_3 [/mm]
Die Koordinatengleichung lautet [mm] \bruch{6}{13} x_1 + \bruch{7} {13} x_2 + \bruch{5} {13} x_3 = 1 [/mm]
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruss Dust
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Hallo Dust,
> Hallo,
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> [mm]E : \vec x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]r * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]s * \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]E : \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das führt zu dem LGS in den drei Unbekannten [mm]x_1 , x_2[/mm] und
> [mm]x_3[/mm]
>
> [mm]x_1 = 1 - 2r + s[/mm]
> [mm]x_2 = 1 + r -3s[/mm]
> [mm]x_3 = r + 3s[/mm]
>
> [mm]x_1 = 1 -2r + s[/mm] +2r ; [mm]- x_1[/mm]
> [mm]2r = 1 + s - x_1[/mm]
> : 2
>
> [mm]r = \bruch{1} {2} + \bruch{1} {2} s - \bruch{1} {2} x_1[/mm]
>
> r eingesetzt in [mm]x_2[/mm]
>
> [mm]x_2 = 1 + r - 3s[/mm]
> [mm]x_2 = 1 + 0.5 + 0,5s - 0,5x_1 - 3s[/mm]
> [mm]x_2 = 1.5 - 0,5x_1 - 2,5s[/mm]
> + 2 ,5s ; [mm]-x_2[/mm]
> [mm]2,5s = 1.5 - 0,5x_1 - x_2[/mm] : 2,5
>
> [mm]s = \bruch{1.5} {2.5} - \bruch{0,5} {2,5} x_1 - \bruch{1} {2,5} x_2[/mm]
>
> [mm]s = 0,6 - 0,2 x_1 - 0,4x_2[/mm]
>
> s und r eingesetzt in [mm]x_3[/mm]
>
> [mm]x_3 = r + 3s [/mm]#
>
> [mm]x_3 = 0,5 + 0,5s - 0,5x_1 + 3s[/mm] | 3s + 0,5s
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> [mm]x_3 = 0,5 - 0,5x_1 + 3,5 * ( 0,6 - 0,2x_1 - 0,4x_2[/mm]
>
> [mm]x_3 = 0,5 - 0,5x_1 + 3,5 * 0,6 + 3,5 * -0,2x_1 + 3,5 * - 0,4x_2[/mm]
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> [mm]x_3 = 0,5 - 0,5x_1 + 2,1 - 0,7x_1 -1,4x_2[/mm]
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> [mm]x_3 = 2,6 -1,2x_1 -1,4x_2[/mm] -2,6 ; [mm]-x_3[/mm]
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> [mm]-2,6 = -1,2x_1 - 1,4x_2 - x_3[/mm] : -2,6
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> [mm]1 = \bruch{6} {13} x_1 + \bruch{7} {13}x_2 + \bruch{5} {13} x_3[/mm]
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> Die Koordinatengleichung lautet [mm]\bruch{6}{13} x_1 + \bruch{7} {13} x_2 + \bruch{5} {13} x_3 = 1[/mm]
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielen Dank für euere Hilfe
>
> Gruss Dust
>
Gruss
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