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Hallo ihr Lieben,
ich brauche GANZ GANZ dringend Hílfe und bin sehr dankbar dafür, dass ich diese Seite gefunden habe. Ich finde sie super!!!
Nun aber zu meinem Problem über das ich mir nun schon Wochen das Köpfchen zerbrochen habe:
ich bin Matheleistungskurslerin und war ein Jahr in den USA. Was die mir dort für Mathe angeboten haben entsprach dem Niveau der 9. Klasse. Ich hab alles vergessen *heul*. Nun muss ich aber diese Prüfungsaufgabe abgeben und habe nur ansatzweise Lösungen gefunden. Bitte helft mir!
Ein ganz großes und liebes Danke von Herzen an alle, die sich dieser Aufgaben annehmen!!!!
1. Gegeben sei eine Funktionsschar [mm] \IF_{t} [/mm] mit
[mm] \IF_{t}(x)= \bruch{t*x+3}{x²} [/mm] (x,t e R \ {0} )
Der Graph von [mm] \IF_{t} [/mm] sei [mm] \IK_{t}.
[/mm]
1.1 Untersuchen sie [mm] \IK_{t} [/mm] auf Schnittpunkte mit der x-Achse, lokale Extrempunkte und Wendepunkte in Abhängigkeit von t!
(Dazu habe ich einige Lösungen und hoffe, dass sie richtig sind: Schnittpunkt S( [mm] \bruch{-3}{t};0)
[/mm]
Tiefpunkt bei T( [mm] \bruch{-6}{t}; \bruch{-t²}{12})
[/mm]
Wendepunkt bei W( [mm] \bruch{-9}{t}; \bruch{-2t²}{27}))
[/mm]
Ermitteln Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten der Funktionsschar [mm] \IF_{t}!
[/mm]
(Ähm ja, ich habe hier die Vermutung, dass das was mit dem Unentlichkeitsverhalten der Funktion auf sich hat, aber was nun genau?!)
Bestimmen Sie t so, dass [mm] \IK_{t} [/mm] den lokalen Tiefpunkt bei x=-1 hat!
Geben sie die Gleichungen der Wendetangenten für [mm] \IK_{t} [/mm] und [mm] \IK_{6} [/mm] an!
(Ähhhh was?!)
1.2 Geben Sie die Gleichung der Kurve an, auf der die Tiefpunkte von [mm] \IK_{t} [/mm] liegen, wenn t alle definierten Zahlenwerte durchläuft.
1.3 Die vom Graphen der Funktion g(x)= [mm] \bruch{3}{x²} [/mm] und von [mm] \IK_{6} [/mm] im Intervall 0,5 [mm] \le [/mm] x [mm] \ge [/mm] 4 eingeschlossene Fläche rotiert um die x-Achse.
Berechnen sie das Volumen des Rotationskörpers.
1.4 Gegeben sei die Funktionsschar [mm] \IH_{k} [/mm] mit
[mm] \IH_{k}= \bruch{1}{k}x+2x²+kx
[/mm]
Ihr Schaubild sei [mm] \IG_{k}
[/mm]
Geben Sie die Gleichung für die Ortskurve der Wendepunkte der Funktionenschar an!
Für welchen Wert k schneidet die Ortskurve das Schaubild [mm] \IG_{k} [/mm] im Wendepunkt unter einem rechten Winkel?
1.5 Gegeben ist eine Funktion g(x)= ln(x+4)
Zeichnen Sie die Graphen der Funktion g(x) und der Ortskurve der Wendepunkte y=- [mm] \bruch{1}{6}x² [/mm] im Intervall -3,5 [mm] \le x\ge [/mm] 0 in ein gemeinsames Koordinatensystem.
Eine Parallele zur y-Achse scheidet die beiden Graphen in den Punkten A und B. An welcher Stelle x ist im angegebenen Intervall der Abstand [mm] \overline{AB} [/mm] minimal?
DANKE nocheinmal für eure Hilfe!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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Ne ganze Menge Fragen auf einmal, aber das bekommen wir schon hin, notfalls in kleinen Häppchen 
1.1. Deine Nullstelle ist richtig.
Tiefpunkt ist richtig.
Wendepunkt ist richtig.
Asymptoten: hier gibt's grundsätzlich zwei Typen von Asymptoten: einmal die senkrechten Asymptoten, die dort liegen, wo die Funktion nicht definiert ist (und nicht stetig fortsetzbar, falls dir das was sagt).
Und andererseits die waagrechten oder schiefen Asymptoten (bzw. asymptot. Kurven), die man am Unendlichkeitsverhalten erkennen kann.
Zuerst mal die Unstetigkeitsstelle: klar, nicht definiert für [mm]x=0[/mm]. Somit ist diese Gerade (also die y-Achse) senkrechte Asymptote. Wenn's noch interessiert, ob's dort nen Vorzeichenwechsel gibt: schau dir den Term an, der für diese Asymptote verantwortlich ist: [mm]x^2[/mm]. Da dort eine gerade Hochzahl dabeisteht, gibt's keinen Vorzeichenwechsel (die Kurve geht also links und rechts der y-Achse entweder beide Male [mm]\to \infty[/mm], oder [mm]\to -\infty[/mm]).
Werde ans Ende noch den Graphen der Kurve anhängen, da kannst es dann erkennen.
Und dann das Unendlichkeitsverhalten: bei ner Gebrochenrationalen Funktion (ne Funktion, die im Zähler und Nenner jeweils ein Polynom hat) schaut man sich "Grad des Zählers" (Z) und "Grad des Nenners" (N) an (also jeweils die höchste Hochzahl des x).
Ist N>Z, dann geht der Nenner schneller [mm]\to \infty[/mm] als der Zähler [mm]\Rightarrow[/mm] der Bruchwert geht [mm]\to 0[/mm]. Und somit ist hier die x-Achse die Asymptote.
Die anderen Fälle (N=Z , Z>N) kannst du in diesem Forum in alten Einträgen mal suchen. Wäre jetzt viel Arbeit, das jeweils mit Beispielen hier aufzuschreiben. Und unübersichtlicher wär's dann auch.
t so bestimmen, dass Tiefpunkt bei x=-1 liegt: naja, die Koordinaten des Tiefpunktes hast du ja schon: [mm]T(-\bruch{6}{t} / -\bruch{t^2}{12})[/mm].
Nun soll der x-Wert =-1 werden: [mm]-\bruch{6}{t}=-1[/mm].
Jetzt isses einfach, oder?
Gleichungen der Wendetangenten für t allgemein und t=6: Wendetangenten sind (wie alle anderen Tangenten auch) Geraden. Hier sollst du also ne Geradengleichung aufstellen. Du weißt in welchem Punkt (dem Wendepunkt, von dem du beide Koordinaten schon hast), und die Steigung kannst du berechnen.
Die Steigung bekommst du ja mit der ersten Ableitung. Und wo willst du die Steigung? Beim x-Wert des Wendepunktes. Also: [mm]m=f'(-\bruch{9}{t})=\bruch{243}{t^3}[/mm], falls ich mich nicht verrechnet habe.
Und die Tangentengleichung bekommst du dann aus der Punkt-Steigungs-Formel: [mm]y=m \cdot (x-x_0)+y_0[/mm], wobei [mm]m[/mm] die Steigung ist, und [mm](x_0/y_0)[/mm] die Koordinaten des Wendepunktes.
Und um die Wendetangente für [mm]t=6[/mm] zu erhalten, musst du nicht nochmal alles neu rechnen, sondern setzt in die Tangentengleichung von vorhin einfach [mm]t=6[/mm] ein.
Und hier die Kurve für [mm]t=6[/mm]:
[Dateianhang nicht öffentlich]
1.2. Das, was hier gefragt ist, nennt sich "Ortskurve" eines Punktes. Da in beiden Koordinaten der Parameter t drin vorkommt, wird der Punkt T also anfangen zu "wandern", wenn man verschiedene Werte für t einsetzt. Aber er wird nicht beliebig rumwandern, sondern auf einer festen Bahn, die man berechnen kann. Und das geht so: schreib die Koordinaten des Punktes einfach mal getrennt auf:
[mm]x=-\bruch{6}{t}[/mm] , [mm]y=-\bruch{t^2}{12}[/mm].
Jetzt löst du die erste Gleichung nach t auf, und setzt das dann für das (bzw. die, falls es mehrere gibt) t in die y-Gleichung ein. Fertig ist die Ortskurve.
Wieder unter der Voraussetzung, dass ich mich nicht verrechnet habe, hier das Kontrollergebnis: [mm]y=-\bruch{1}{4x^2}[/mm]
1.3. Erstmal ein Bildchen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Fläche zwischen den beiden Kurven soll um die x-Achse rotieren.
Wenn die links-rechts-Grenzen gegeben sind durch [mm]links=a[/mm] und [mm]rechts=b[/mm], und die Fläche zwischen den Kurven von f und g rotieren soll, dann bekommst du das Volumen durch:
[mm]V=\pi \cdot \integral_{a}^{b} {(f^2(x)-g^2(x))dx}[/mm].
Vorsicht: im Integral nicht [mm](f(x)-g(x))^2[/mm] rechnen, damit würde nicht das eingegrenzte Flächenstück rotieren!
Kannst ja mal überlegen, wo der Unterschied zwischen den beiden Versionen geometrisch liegt.
1.4. Das ist ne Funktion 2. Grades, die hat sicher keine Wendepunkte. Du meinst sicher [mm]h_k(x)=\bruch{1}{k}x^3+2x^2+kx[/mm].
Wendepunkt und Ortskurve bekommst du sicher selber raus.
Du hast dann die Ortskurve, sowie die Kurve von [mm]h_k(x)[/mm].
Gefragt ist nach Orthogonalität, muss also was mit Steigungen zu tun haben.
Du bekommst die Steigung der beiden Kurven im Wendepunkt, wenn du jeweils den x-Wert des Wendepunktes in die ersten Ableitungen einsetzt.
Und dann hast du zwei Steigungen.
*** Zwei Steigungen [mm]m_1[/mm] und [mm]m_2[/mm] sind dann senkrecht, wenn gilt: [mm]m_1 \cdot m_2 =-1[/mm] ***
1.5. Bezieht die Aufgabe sich auf die 1.4.? Hier wird irgendwas von ner Ortskurve erzählt, aber bei [mm]g(x)=ln(x+4)[/mm] gibt's keine Ortskurve. Ist wohl die aus 1.4. gemeint...
Erstmal die Kurven selber:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zeichne dir mal in ne Skizze diese Parallele zur y-Achse. Diese schneidet die beiden Kurven ja an zwei Stellen.
Aufgabe: wo ist der Abstand der beiden Punkte maximal?
Die Punkte unterscheiden sich ja nur im y-Wert, nicht im x-Wert (liegen ja direkt über- bzw. untereinander).
Also ist die Frage: an welchem x-Wert [mm]u[/mm] ist der Abstand von [mm]ln(u+4)[/mm] zur [mm]-\bruch{1}{6}u^2[/mm] maximal?
Das ist natürlich dort der Fall, wo die Differenz der beiden y-Werte maximal ist. Und da die Kurve mit den ln über der anderen Kurve verläuft, musst du also die Abstandsfunktion [mm]d(u)=ln(u+4)+\bruch{1}{6}u^2[/mm] im Intervall [mm]-3,5 \le x \le 0[/mm] minimieren (also den Tiefpunkt bestimmen, und nicht vergessen, auch die Randwerte [mm]u=-3,5[/mm] und [mm]u=0[/mm] auch zu überprüfen).
Würdest du aus Versehen "untere minus obere Funktion" untersuchen, dann wären die "Abstände" ja alle negativ, und du würdest ein Maximum bekommen, statt nem Minimum.
Und noch was zu deiner Intervall-Schreibweise: wenn du ausdrücken willst "x soll zwischen a und b liegen", dann ist das: [mm]a \le x \le b[/mm].
Dateianhänge:
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Also, erstmal ein ganz großes ((((( DANKE ))))) an dich! Du hast mir echt sehr geholfen die ganze Sache zu verstehen! Ich hab immer brav versucht alles nachzurechnen und auch fast alles verstanden, wenn ich auch kaum auf deine Kontrollergebnisse gekommen bin. Bei dem Anstieg der Gradengleichung der Wendetangente komme ich zum Beispiel auf m = - [mm] \bruch{t³}{243} [/mm] . Ich hab aber das dumme Gefühl, dass ich, wie sonst auch immer, einen so offensichtlichen Fehler gemacht habe, dass er zu offensichtlich ist um von mir gesehen zu werden.
Naja, ich überarbeite die ganze Sache dann morgen nochmal,
Nochmal danke, danke, danke
Bis denn dann Katrinchen245
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 So 23.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Hast völlig recht, hab's grad nochmal durchgerechnet. Die Steigung ist wirklich [mm]m=-\bruch{t^3}{243}[/mm].
Also, vor Rechenfehlern bist du in meiner Antwort nicht sicher. Und wenn du noch weitere Kontrollergebnisse findest, die mit deinem Ergebnis nicht übereinstimmen, dann poste das hier nochmal, dann kann ich auch mein Ergebnis nochmal nachrechnen.
Und auch wenn irgendwas noch unklar sein sollte: frag einfach nach.
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