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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Do 24.11.2005 | | Autor: | knoeli |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin @all
hab da ma ne frage und würd mich freuen wenn ihr mir da helfen könntet
in der aufgabe steht:
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Im Wendepunkt des Graphen der Funktion f mit [mm] f(x)=-x^3+k*x [/mm] wird die Tangente gezeichnet und zu ihr die Senkrechte, die sogenannte Normale.
Für welchen Wert von k hat der Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit dieser Normalen einschließt, einen größten oder kleinsten Wert?
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wie soll ich vorgehen und wie bekomm ich die funktion für die Normale??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Do 24.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du! 
> Im Wendepunkt des Graphen der Funktion f mit [mm]f(x)=-x^3+k*x[/mm]
> wird die Tangente gezeichnet und zu ihr die Senkrechte, die
> sogenannte Normale.
> Für welchen Wert von k hat der Inhalt der Fläche, die der
> Graph von f mit dieser Normalen einschließt, einen größten
> oder kleinsten Wert?
Nun, erstmal brauchst du ja eine Funktionsgleichung für deine Normale!
Die kannst bekommen, in dem du Koordinaten und Steigung in deinem Wendepunkt ausrechnest. Die Normale in diesem Punkt hat ja dann eine negativ reziproke Steigung. (Bsp.: Eine Gerade hat die Steigung - [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] dann hat die senkrechte dazu die Steigung 2.)
Dann kannst du noch den y-Achsenabschnitt der Normalen bestimmen und dann hast du eine Funktionsgleichung der Normalen, ich nenne sie mal n(x).
Nun berechnest du ganz normal (nur halt mit der Variablen k) den Flächeninhalt der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche (sie sei A(k)):
A(k) = [mm] \integral{[f(x)-n(x)] dx}
[/mm]
Die Integrationsgrenzen kannst du sicherlich berechnen *!?*
Was du erhälst ist eine Funktion A(k), welche dir deinen Flächeninhalt für jedes k angibt.
Und wann ist dieses A(k) am größten bzw. am kleinsten? Genau! Natürlich dann wenn A'(k) = 0 (A'(k) ist die Ableitung) ist. Es bleiben selbstverständlich die Randwerte zu untersuchen!
D.h. in dieser Aufgabe ist (wie du schon erkannt hast, eine Integration und eine Optimierung erforderlich).
Dann noch viel Spaß beim Rechnen!
Lg, Kübi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Do 24.11.2005 | | Autor: | knoeli |
wie rechne ich die steigung in dem punkt?
und wie soll die funktion für die normale dann aussehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Do 24.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo nochmal! 
> wie rechne ich die steigung in dem punkt?
Nun, die Steigung in diesem Punkt lässt sich bestimmen wie in folgendem Beispiel:
Sei f(x) = [mm] x^{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] 3x^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f''(x) = 6x
(1) Wendepunkt [mm] \Rightarrow [/mm] f''(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = 0
(2) Steigung im WP ist folglich: f'(0) = 0
Dieses Beispiel ist konkret gerechnet, aber genau so kannst du die Steigung im Wendepunkt ausrechnen.
> und wie soll die funktion für die normale dann aussehen?
Nun, die allgemeine Tangentenformel sollte dir bekannt sein:
t(x) = [mm] f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x) [/mm] (1)
Du hast jetzt x-Koordinate (sie sei eben gerade [mm] x_{0}) [/mm] des Wendepunktes ausgrechnet.
Wenn du sie in Gleichung (1) einsetzt, und in (1) statt f'(x) eben die negativ reziproke [mm] -\bruch{1}{f'(x)} [/mm] verwendest, bekommst du direkt n(x) durch Vereinfachen der rechten Seite.
Wie du siehst, bräuchtest du die Steigung im Wendepunkt nicht einmal extra ausrechnen zuvor, wenn dir (1) bekannt ist.
Alles klar?
Lg, Kübi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Do 24.11.2005 | | Autor: | knoeli |
d.h. wenn ich die negativ reziproke $ [mm] -\bruch{1}{f'(x)} [/mm] $ verwende, dann bekomm ich dann die Normale raus?
mehr nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Do 24.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo knoeli!
> d.h. wenn ich die negativ reziproke [mm]-\bruch{1}{f'(x)}[/mm]
> verwende, dann bekomm ich dann die Normale raus?
Dieser Term gibt die Steigung [mm] $m_n$ [/mm] der gesuchten Normalen an.
Eingestzt in die oben genannte (bereits umgestellte) Punkt-Steigungs-Form erhältst Du die gesamte Vorschrift für die Gerade (= Normale).
Dann geht es weiter mit der Flächenberechnung ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Do 24.11.2005 | | Autor: | knoeli |
so und wie wäre dann die funktionsgleichung für die Normale??
schon einer gerechnet ma sehen ob ich das auch so hab. :)
Am Besten mit schritten, dammit ich mein fehler verstehen kann.
die fläche muss ich dann rechnen ;)
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Hallo kuebi,
> so und wie wäre dann die funktionsgleichung für die
> Normale??
> schon einer gerechnet ma sehen ob ich das auch so hab. :)
> Am Besten mit schritten, dammit ich mein fehler verstehen
> kann.
schau mal hier.
Gruß
MathePower
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