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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Do 23.03.2006 | | Autor: | LaBouche |
Ich habe ein Frage zum Beweisverfahren der Rechnerelgeln der komplexen Zahlen.
wie beweise ich, dass
=
z = z
die Negetation hebt sich ja wieder auf (so, wie bei minus mal minus, ergibt plus), aber wie beweise ich so etwas?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Do 23.03.2006 | | Autor: | t.sbial |
Das ist wahrscheinlich einfach nur "zu einfach" um es als kompliziert denkender Mensch als einfach anzusehen;)
Es liegt tatsächlich am -*-=+:Z.B:
z=x+iy dann folgt nach Def.:
[mm] \overline{z}=x-iy=x+i(-y), [/mm] dann folgt wieder nach Def.:
[mm] \overline{\overline{z}}=x-i(-y)=x+i(-(-y))=x+iy=z
[/mm]
Gruß
T.Sbial
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Sa 25.03.2006 | | Autor: | LaBouche |
| Aufgabe | 4) Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln:
Ja, aber woher kommt denn das x + iy ?? Ich bin einfach wohl zu blöd, dass zu verstehen...
Kann man diese Aufagen nicht irgendwo erklärt im Netz finden? |
=
1. z = z Ist ja fast klar
______ __ __
2. z1 + z2 = z1 + z2 aber wie wird x+ iy auf den rest angewendet?
______ __ __
3. z1 * z2 = z1 * z2
_
4. z + z = 2 * (Re z); z �� z = 2i * (Im z)
_
5. z * z = (Re [mm] z)^2 [/mm] + (Im [mm] z)^2 [/mm] 2R
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Sa 25.03.2006 | | Autor: | LaBouche |
Entschuldigung, die Negetationen sind bei Aufgabe 4 & 5 verrutscht, sie sollen natürlich jeweils über dem hinteren z stehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Sa 25.03.2006 | | Autor: | kiliber |
Ich weiss nicht, ob ich Dich richtig verstehe, aber ich versuchs mal: grundsätzlich besteht ja jede komplexe Zahl aus einem Real- (meistens x) sowie einem Imaginär-Anteil (meistens y). Letzterer wird mit i für [mm] \wurzel[n]{-1} [/mm] gekennzeichnet, also X + iY.
Um nun zu beweisen, dass
_______ __ __
Z1 + Z2 = Z1 + Z2
ist, setze für Z1 einfach (X1 + iY1) und für Z2 (X2 + iY2).
Somit:
______________________
(X1 + iY1) + (X2 + iY2)
ist gleich
___________________
X1 + X2 + i(Y1 + Y2)
Für die konjugiert-komplexe Zahl wechselt der Imaginärteil das Vorzeichen, also:
_______
Z1 + Z2 = X1 + X2 - i(Y1 + Y2)
Nun das ganze mit
__ __
Z1 + Z2
_________ ________
(X1 + iY1) + (X2 + iY2)
ist gleich
(X1 - iY1) + (X2 - iY2)
Real- und Imaginärteil geordnet:
X1 + X2 - iY1 - iY2
anders geschrieben:
__ __
Z1 + Z2 = X1 + X2 - i(Y1 + Y2)
Womit der Beweis erbracht wäre.
Dies führst Du jetzt nach dem gleichen Muster mit den anderen Aufgaben durch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 26.03.2006 | | Autor: | LaBouche |
Hallo,
ich habe mal versucht die Aufgaben zu lösen. Bin mir aber bei dem 4 & 5 Gesetz sehr unsicher ob überhaupt der Ansatz richtig ist. Hänge es mal als Datei mit an. Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo LaBouche!
Dein erster Nachweis ist richtig, auch wenn sich mir Dein Ausdruck vor dem letzten Gleichheitszeichen nicht erschließt (was Du selbst mit der Bemerkung "ist wohl überflüssig" versehen hast).
Die anderen Nachweise sind leider alle falsch. Wie kommst Du z.B. bei Aufgabe plötzlich auf die Division, es handelt sich doch hier um Multiplikation!
An dem einen Nachweis (43) zeige ich es Dir mal:
[mm] $\overline{z_1*z_2} [/mm] \ = \ [mm] \overline{(x_1+i*y_1)*(x_2+i*y_2)} [/mm] \ = \ [mm] \overline{x_1*x_2+i*x_1*y_2+i*x_2*y_1-y_1*y_2} [/mm] \ = \ [mm] \overline{(x_1*x_2-y_1*y_2)+i*(x_1*y_2+x_2*y_1)} [/mm] \ = \ [mm] (x_1*x_2-y_1*y_2)-i*(x_1*y_2+x_2*y_1)$
[/mm]
[mm] $\overline{z_1}*\overline{z_2} [/mm] \ = \ [mm] \overline{(x_1+i*y_1)}*\overline{(x_2+i*y_2)} [/mm] \ = \ [mm] (x_1-i*y_1)*(x_2-i*y_2) [/mm] \ = \ [mm] x_1*x_2-i*x_1*y_2-i*x_2*y_1-y_1*y_2 [/mm] \ = \ [mm] (x_1*x_2-y_1*y_2)-i*(x_1*y_2+x_2*y_1)$
[/mm]
Bei den restlichen solltest Du auch bedenken, dass es sich teilweise um dieselbe komplexe Zahl [mm] $z_{\red{1}}$ [/mm] handelt (z.B. Nachweis 44+45).
Zudem gilt auch für $z \ = \ x+i*y$ :
$Re(z) \ = \ x$
$Im(z) \ = \ y$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mo 27.03.2006 | | Autor: | LaBouche |
Vielen DANK für die Korrektur!
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