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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 So 17.12.2006 | | Autor: | Ronin |
| Aufgabe | Entscheiden sie für welche x [mm] \in \IR [/mm] die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] x^(n-1)/(n(n+1))
konvergiert und bestimmen sie gegebenenfalls den Wert |
Hallo
Also ich glaub ich hab das meisste davon geschafft...
hab die Reihe in [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] x^(n-1)/(n+1)* 1/n aufgespalten und kann dann mithilfe des Abelschen Kriteriums sagen dass die Reihe für -1<x<1 konvergiert. Sie konvergiert aber auch für x=-1 und x=1 was ich dann als spezialfälle zeigen würde... Ist das so richtig bzw kennt jemand ne einfachere Methode?
Also für x=1 ists kein problem da ist der GW=1 (teleskopsumme)
aber für x=-1 da komm ich nicht weiter... Ich kenn den Gw zwar aus der Literatur (ln2)aber wie beweise ich ihn ??? Hat mir jemand ne Idee ???
Vielen Dank
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Für [mm]x = -1[/mm]:
[mm]\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{n-1}}{n \, (n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty}~(-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)[/mm]
[mm]= 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + - - + \ldots[/mm]
Fasse Summanden zusammen. Das gibt aber nicht [mm]\ln{2}[/mm], sondern [mm]2 \ln{2} - 1[/mm].
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