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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 So 30.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Wenn [mm] A_n [/mm] keine Normalteiler besitzt, so auch [mm] S_n [/mm] nicht. |
Hallo Leute,
wollte zur Übung diese Aufgabe machen, aber weiß nicht genau, wie ich daran gehen soll. Was heißt denn, dass es kein Normalteiler gibt? Doch einfach, dass [mm] g^{-1}hg \notin [/mm] H für alle g [mm] \in [/mm] G und h [mm] \in [/mm] H. Wie kann ich aber daraus etwas folgern? Hilft mir die Signumfunktion hierbei? Bräuchte mal einen Ansatz!
Danke schonmal.
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moin,
Als erstes solltest du dir mal ganz genau überlegen, was du zeigen musst.
Wie ist Normalteiler definiert?
Wie sieht die Aussage "eine Gruppe besitzt keine Normalteiler" formal korrekt aus (hier ist bei dir ein wenig was schief gelaufen)?
An der Stelle noch:
Ich nehme stark an hier ist die Rede von nicht trivialen Normalteilern, denn ist $G$ eine beliebige Gruppe, so besitzt $G$ immer die beiden Normalteiler [mm] $\{e\}$ [/mm] und $G$ selber; eine Gruppe ganz ohne Normalteiler existiert also nicht.
Wenn du dir das ganz sauber hingeschrieben hast, hast du schon eine ganze Menge erreicht.
Danach überleg dir folgendes:
[mm] "$A_n$ [/mm] besitzt keinen Normalteiler [mm] $\Rightarrow$ $S_n$ [/mm] besitzt keinen" ist logisch äquivalent zu:
"Besitzt [mm] $S_n$ [/mm] einen Normalteiler, so auch [mm] $A_n$.
[/mm]
Sei also $N$ ein Normalteiler von [mm] $S_n$, [/mm] dann besitzt auch [mm] $A_n$ [/mm] einen Normalteiler, da...
(auch hier wieder immer nicht triviale Normalteiler!)
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:55 Mo 01.10.2012 | | Autor: | hippias |
Darueber hinaus ist die Behauptung falsch: Fuer [mm] $n\geq [/mm] 3$ hat [mm] $S_{n}$ [/mm] stets den nicht trivialen Normalteiler [mm] $A_{n}$. [/mm] Man sollte also versuchen zu zeigen: Wenn [mm] $A_{n}$ [/mm] keinen nicht trivialen Normalteiler besitzt, so hat auch [mm] $S_{n}$ [/mm] keinen Normalteiler ungleich $1, [mm] A_{n}$ [/mm] oder [mm] $S_{n}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mo 01.10.2012 | | Autor: | AntonK |
Es gibt also keinen echten Normalteiler H von [mm] A_n, [/mm] sodass [mm] g^{-1}hg \in [/mm] H ist, für alle g [mm] \in A_n [/mm] und h [mm] \in [/mm] H.
Wobei g und h Zykel sind. Ich wollte auch noch irgendwie ausnutzen, dass [mm] A_n [/mm] ja der Kern von [mm] S_n [/mm] ist, sprich, dass alle Permutationen ungerader Anzahl sind in [mm] A_n.
[/mm]
Du willst sicherlich damit andeuten, dass ich hier mit Widerspruch arbeiten soll, damit habe ich aber immer so meine Problemchen, weil ich nie genau weiß, wo ich dabei anfangen muss. Ich würde hier irgendwie so beginnen:
Angenommen H ist ein Normalteiler von [mm] A_n, [/mm] daraus folgt, das oben beschriebene.
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@ hippias: Hast natürlich Recht.
@ Anton: Als erstes such mal die vollständig richtige Aufgabenstellung raus oder erzähl zumindest aus welch einem Kontext sie stammt.
Denn wie du siehst finden sich darin mehrere Fehler, also sollte man in der Form erst gar nicht versuchen sie zu beweisen.
Zu dem, was du geschrieben hast:
> Es gibt also keinen echten Normalteiler H von [mm]A_n,[/mm] sodass
> [mm]g^{-1}hg \in[/mm] H ist, für alle g [mm]\in A_n[/mm] und h [mm]\in[/mm] H.
Oder anders: Zu jeder Untergruppe $H [mm] \leq A_n$ [/mm] gibt es ein $h [mm] \in [/mm] H$ und ein $g [mm] \in A_n$, [/mm] sodass [mm] $g^{-1}hg \not\in [/mm] H$.
> Ich wollte auch noch irgendwie
> ausnutzen, dass [mm]A_n[/mm] ja der Kern von [mm]S_n[/mm] ist, sprich, dass
> alle Permutationen ungerader Anzahl sind in [mm]A_n.[/mm]
Die Gruppe [mm] $A_n$ [/mm] ist sicher nicht der Kern von [mm] $S_n$, [/mm] denn dafür müsstest du mir erstmal erzählen was du mit dem Kern einer Gruppe meinst.
[mm] $A_n$ [/mm] ist der Kern des Gruppenhomomorphismus [mm] $\sign [/mm] : [mm] S_n \to \{-1,1\}$.
[/mm]
Du musst hier mit den Begriffen ganz vorsichtig sein.
> Du willst sicherlich damit andeuten, dass ich hier mit
> Widerspruch arbeiten soll, damit habe ich aber immer so
> meine Problemchen, weil ich nie genau weiß, wo ich dabei
> anfangen muss. Ich würde hier irgendwie so beginnen:
Nein, ich rede davon, dass du deine zu zeigende Aussage (sobald sie berichtigt ist) logisch äquivalent umdrehen sollst, also einen indirekten Beweis, keinen Widerspruchsbeweis.
In wie weit bist du mit elementarer Logik und Beweistechniken vertraut?
Sagen dir direkter Beweis, indirekter Beweis, Beweis durch Widerspruch sowie vollständige Induktion etwas?
Wenn nein solltest du diese dringend sofort nacharbeiten, denn ohne diese Beweismethoden (und ggf. noch anderen) wirst du nicht sehr weit kommen.
lg
Schadow
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