Alternier. Grp. Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Hellfrog |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die alternierende Gruppe [mm] A_{n} [/mm] ein Normalteiler in [mm] S_{n} [/mm] für n [mm] \in \IN_{n > 0} [/mm] ist. |
hallo
weiß nicht so genau wie ich an die aufgabe rangehen soll. hier mal was ich mir dazu überlegt habe:
[mm] A_{n} [/mm] besteht aus allen geraden permutationen einer n-elementigen menge, außerdem ist [mm] A_{n} [/mm] der kern des gruppenhomomorphismus [mm] S_{n} \rightarrow [/mm] {-1; 1}.
jetzt ist doch der kern eines gruppenhom. nach definition schon ein normalteiler der abgebildeten gruppe, in meinem fall also [mm] S_{n}.
[/mm]
an dieser stelle wäre ich dann doch schon fertig, oder mache ich mir es zu leicht?
alternativ dachte ich vllt noch so:
für n [mm] \ge [/mm] 5 ist [mm] A_{n} [/mm] einfach, dh also falls [mm] A_{n} [/mm] ein Normalteiler ist, dann können nur die Normalteiler {e}, [mm] A_{n} [/mm] und [mm] S_{n} [/mm] selbst in frage kommen.
jetzt müsste ich dann noch die fälle n [mm] \le [/mm] 4 betrachten, aber dazu habe ich keine idee.
danke schonmal im voraus
|
|
| |
|
Wenn du die von dir erwähnten Sätze und Definitionen schon hattest reicht das vollkommen, ja.
|
|
|
|
