Allquantor < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Di 03.07.2007 | | Autor: | pelzig |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich wollte fragen, ob [mm](\forall a\in A)P(a)\Leftrightarrow (a\in A\Rightarrow P(a))[/mm] wahr ist, wenn ja, wie kann man es formal beweisen? Wenn dem nämlich so wäre, dann wäre [mm](\exists a\in A)P(a)\Leftrightarrow a\in A\wedge P(a)[/mm], was mich ein wenig verwundert da, da auf der rechten Seite dann scheinbar "die Existenzaussage" fehlt.
Gruß,
Herr Pelzig
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ich wollte fragen, ob [mm](\forall a\in A)P(a)\Leftrightarrow (a\in A\Rightarrow P(a))[/mm]
> wahr ist, wenn ja, wie kann man es formal beweisen?
Mir ist nicht klar, was der Geltungsbereich des Allquantors sein soll. Ich vermute: es handelt sich hier um ein Problem der Schreibweise - das möglicherweise dann zu Fehlschlüssen Anlass gibt.
Vermutlich meinst Du:
[mm]\forall a\in A\Big( P(a)\Leftrightarrow \big(a\in A\Rightarrow P(a)\big)\Big)[/mm]
Falls ja, dann ist diese Aussage jedenfalls wahr, denn die Prämisse [mm]a\in A[/mm] der rechten Seite der Bisubjunktion [mm]\Leftrightarrow[/mm] ist per Definition von [mm]\forall a\in A(\ldots)[/mm] als [mm]\forall a (a\in A \wedge \ldots)[/mm] natürlich überflüssig.
> Wenn
> dem nämlich so wäre, dann wäre [mm](\exists a\in A)P(a)\Leftrightarrow a\in A\wedge P(a)[/mm],
> was mich ein wenig verwundert da, da auf der rechten Seite
> dann scheinbar "die Existenzaussage" fehlt.
Das verwundert mich auch - und sogar gar nicht wenig -, denn erstens ist m.E. wieder nicht klar, was der Bindungsbereich des Existenzquantors ist. Des weiteren bin ich der Ansicht, dass Du eine Allaussage [mm]\forall a\in A\ldots[/mm] höchstens in eine [mm]\neg\; \exists a\in A\; \neg(\ldots)[/mm] Aussagen umformen könntest.
Du musst mir genauer erklären, wie Du auf diese mir irgendwie rätselhafte Gültigkeit der [mm]\exists a\in A\ldots[/mm] Aussage geschlossen hast.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:48 Mi 04.07.2007 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Diese Schreibweise habe ich irgend nem Skript gefunden. Was ich meinte war allerdings:
[mm][(\forall a\in A)P(a)]\Leftrightarrow a\in A \Rightarrow P(a)[/mm]
Die idee war also, die Allquantor aufzulösen und nur mit einfachen logischen operationen auszudrücken.
Daraus folgt dann [mm][(\exists a\in A)P(a)]\Leftrightarrow a\in A\wedge P(a)[/mm] wie folgt (ich lasse die eckigen klammern aus bequemlichkeit jetzt weg, es sollte jetzt klar sein, was ich meine):
[mm](\exists a\in A)P(a)\Leftrightarrow \neg((\forall a\in A)\neg P(a))\Leftrightarrow \neg(a\in A\Rightarrow\neg P(a))\Leftrightarrow\neg(a\not\in A\vee\neg P(a))\Leftrightarrow a\in A\wedge P(a)[/mm]
Gruß,
der Pelzmann
edit: Achso, sorry falls du jetzt irgendwie punkte abzug bekommen hast weil ich "antwort fundamental falsch" angeklickt habe ^^... ich bin halt neu hier und kenn mich nich so aus.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 07:12 Do 05.07.2007 | | Autor: | Somebody |
"Wie Du mir so ich Dir" - apropos "fundamental fehlerhaft".
> Hallo,
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> Diese Schreibweise habe ich irgend nem Skript gefunden. Was
> ich meinte war allerdings:
>
> [mm][(\forall a\in A)P(a)]\Leftrightarrow a\in A \Rightarrow P(a)[/mm]
>
> Die idee war also, die Allquantor aufzulösen und nur mit
> einfachen logischen operationen auszudrücken.
>
> Daraus folgt dann [mm][(\exists a\in A)P(a)]\Leftrightarrow a\in A\wedge P(a)[/mm]
> wie folgt (ich lasse die eckigen klammern aus
> bequemlichkeit jetzt weg, es sollte jetzt klar sein, was
> ich meine):
>
> [mm](\exists a\in A)P(a)\Leftrightarrow \neg((\forall a\in A)\neg P(a))\Leftrightarrow \neg(a\in A\Rightarrow\neg P(a))\Leftrightarrow\neg(a\not\in A\vee\neg P(a))\Leftrightarrow a\in A\wedge P(a)[/mm]
Beim Übergang von [mm](\neg((\forall a\in A)\neg P(a))[/mm] zu [mm]\neg(a\in A\Rightarrow\neg P(a))[/mm] lässt Du den expliziten Allquantor einfach fallen: aber es ist doch offensichtlich, dass es ganz zentral ist, wo genau (zwischen welchen beiden Negationen) sich der Allquantor befindet. Wenn Du dann zu einer (wie ich annehme implizit, in der Metasprache allquantifizierten) Aussage mit freiem Parameter [mm]a[/mm] übergehst, steht der Allquantor aber ausserhalb der beiden Negationen: folglich ist es falsch, Äquivalenz der beiden Seiten dieser Bisubjunktion anzunehmen. Denn ob [mm]\neg (\forall a) \neg \ldots[/mm] oder ob [mm](\forall a)\neg \neg \ldots[/mm] behauptet wird, bedeutet ganz erheblich Verschiedenes.
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Da ich auf Deine Korrekturmitteilung nicht mehr antworten kann, ist für mich die Diskussion im Wesentlichen erledigt (anstelle einer Korrekturmitteilung solltest Du einfach eine neue Frage stellen: der weitere Diskussionsverlauf wird dann zu einem Wechselspiel von Frage und Antwort).
Lass mich aber immerhin noch folgendes bemerken: Wenn Deine Schreibweise so interpretiert werden muss, wie Du dies in der Korrekturmitteilung (durch Einführen eines zusätzlichen Klammerpaares) klargestellt hast, dann wäre es schon einmal eine gute Sache, die Behauptung etwa so zu schreiben:
[mm]\big[(\forall a\in A) P(a)\big] \Leftrightarrow [b\in A\Rightarrow P(b)][/mm]
Wie Du siehst habe ich [mm]a[/mm] auf der rechten Seite der Bisubjunktion durch [mm]b[/mm] ersetzt. Nun ist die Frage, wie diese Aussage zu interpretieren ist. Soll dies etwa folgendes bedeuten:
[mm]\big[(\forall a\in A) P(a)\big] \Leftrightarrow (\forall b)[b\in A\Rightarrow P(b)][/mm]
dann ist dies natürlich wahr (im Grunde lediglich eine Umbenennung der Variablen). Soll es aber folgendes bedeuten:
[mm](\forall b)\Big\{\big[(\forall a\in A) P(a)\big] \Leftrightarrow [b\in A\Rightarrow P(b)]\Big\}[/mm]
dann ist dies keine allgemeingültige Aussage mehr. Denn wählt man ein ganz konkretes, spezielles [mm]b_0[/mm], so müsste auch gelten, dass:
[mm]\big[(\forall a\in A) P(a)\big] \Leftrightarrow [b_0\in A\Rightarrow P(b_0)][/mm]
wahr ist ("Beispieleinführung"); aber dies wirst Du doch vermutlich nicht behaupten wollen.
Deine Herleitung der merkwürdigen existenzquantifizierten Behauptung läuft dann, so ist mein Eindruck, auf ein Durcheinander zwischen der expliziten Allquantifizierung der linken Seite der Ausgangsbehauptung und der nicht-expliziten Allquantifizierung und/oder Existenzquantifizierung der rechten Seite (wegen Deiner Verwendung desselben Variablennamens [mm]a[/mm]) hinaus. Aber bedenke: über den Bindungsbereich des Quantors hinaus hat der Variablenname [mm]a[/mm] keinerlei Bedeutung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Do 05.07.2007 | | Autor: | pelzig |
> [...]
> Soll dies etwa folgendes
> bedeuten:
> [mm]\big[(\forall a\in A) P(a)\big] \Leftrightarrow (\forall b)[b\in A\Rightarrow P(b)][/mm]
ja das soll es, nur dass ich dachte man kann das [mm](\forall b)[/mm] dann weglassen. (wahrscheinlich ist das dann die "implizit allquantisierende Aussage", auch wenn ich das noch nie gehört habe ^^)
Also kurz gesagt, kann man die Quantoren niemals einfach weglassen und falls man es doch tut, sind sie implizit trotzdem noch da, oder wie? Es gibt also keine Möglichkeit, die Quantoren durch [mm]\vee,\wedge[/mm] oder [mm]\neg[/mm] auszudrücken? Wenn ja, warum ist das so?
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> > [...]
> > Soll dies etwa folgendes
> > bedeuten:
> > [mm]\big[(\forall a\in A) P(a)\big] \Leftrightarrow (\forall b)[b\in A\Rightarrow P(b)][/mm]
>
> ja das soll es, nur dass ich dachte man kann das [mm](\forall b)[/mm]
> dann weglassen. (wahrscheinlich ist das dann die "implizit
> allquantisierende Aussage", auch wenn ich das noch nie
> gehört habe ^^)
Dies ist wohl, in diesem Kontext, auch eine eher spontane Wortschöpfung meinerseits.
> Also kurz gesagt, kann man die Quantoren niemals einfach
> weglassen
Einfach weglassen sicher nicht. Man kann sie aber weglassen unter gewissen Bedingungen mit gewissen Folgen für die Bedeutung der verwendeten Variablen (siehe unten).
> und falls man es doch tut, sind sie implizit
> trotzdem noch da, oder wie?
Gewissemassen im "metasprachlichen Kontext", ja.
> Es gibt also keine Möglichkeit,
> die Quantoren durch [mm]\vee,\wedge[/mm] oder [mm]\neg[/mm] auszudrücken?
Na, durch die aussagenlogischen "Junktoren" alleine sicher nicht. Andernfalls wäre ja Prädikatenlogik auf Aussagenlogik reduzierbar, nicht?
> Wenn ja, warum ist das so?
Ich denke: das ist der Unterschied zwischen Aussagenlogik und Prädikatenlogik.
Für das "Weglassen" eines Allquantors gibt es praktisch nur eine einzige Möglichkeit: Aus [mm](\forall a)P(a)[/mm] kann man (nicht-leeren Objektbereich vorausgesetzt) auf [mm]P(b)[/mm] für jedes beliebige konkrete [mm]b[/mm] schliessen. Aber die Bedeutung eines solchen Symbols [mm]b[/mm] ist, nachdem man den Allquantor auf diese Weise beseitigt hat, durch den Kontext festgelegt: es handelt sich eigentlich nicht mehr um eine allquantifizierte Variable. Dies scheint auf den ersten Blick eine unnötig pedantische Unterscheidung zu sein: konnte man ein solches [mm]b[/mm] doch beliebig wählen. Sobald man jedoch mit verschachtelten Quantoren auf diese Weise operiert, ist die Unterscheidung von einem solchen [mm]b[/mm] und einer allquantifizierten Variablen unverzichtbar.
Der umgekehrte Weg, einen Allquantor einzuführen, ist dieses: falls es möglich ist, eine Aussage [mm]P(b)[/mm] als wahr nachzuweisen, ohne dass es dabei auf die konkrete Wahl von [mm]b[/mm] ankommt, dann kann man daraus schliessen, dass [mm](\forall a)P(a)[/mm] gilt.
Wie Du vermutlich siehst, wird bei dieser Einführung des Allquantors eine metasprachliche Allbedingung ("[mm]P(b)[/mm] kann für beliebige, d.h. für alle [mm]b[/mm] als wahr nachgewiesen werden") durch eine objektsprachliche, den Allquantor [mm](\forall a)P(a)[/mm] ersetzt.
Ich weiss nicht, welches System der formalen Prädikatenlogik man Dir beigebracht hat. Die Techniken der Einführung bzw. Beseitigung von Quantoren werden m.E. besonders klar von sogenannten "Tableau-Kalkülen" geregelt. (Nicht umsonst sprach deren Entdecker, Gerhard Gentzen, von "Kalkülen natürlichen Schliessens").
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Do 05.07.2007 | | Autor: | pelzig |
> Ich weiss nicht, welches System der formalen
> Prädikatenlogik man Dir beigebracht hat. Die Techniken der
> Einführung bzw. Beseitigung von Quantoren werden m.E.
> besonders klar von sogenannten "Tableau-Kalkülen" geregelt.
Ich kenne nur Schulmathematik, da werden Quantoren benutzt um sich Schreibarbeit zu sparen. Was sie genau bedeuten, bleibt dann eben bis auf weiteres der Phantasie überlassen. Danke für deine Mühe, wenigstens weiß ich jetzt wonach ich suchen muss...
Gruß,
Pelzig
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> > Ich weiss nicht, welches System der formalen
> > Prädikatenlogik man Dir beigebracht hat. Die Techniken der
> > Einführung bzw. Beseitigung von Quantoren werden m.E.
> > besonders klar von sogenannten "Tableau-Kalkülen" geregelt.
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> Ich kenne nur Schulmathematik, da werden Quantoren benutzt
> um sich Schreibarbeit zu sparen. Was sie genau bedeuten,
> bleibt dann eben bis auf weiteres der Phantasie überlassen.
Ja, ich denke, diese Verwendung der Prädikatenlogik, insbesondere der Quantoren, ist problematisch. Dass Mathematiker die Logik formalisiert haben, liegt doch gewiss zu einem erheblichen Teil an dieser Gefahr von Fehlschlüssen bei zu informellem Gebrauch.
Aber es gibt Methoden, die Prädikantenlogik durchaus recht präzise einzuführen, die gut an den in der Mathematik üblichen informellen Gebrauch von "für alle" und "es gibt" anschliessen. Paul Lorenzen nannte diesen Weg die "dialogische Interpretation" der Prädikatenlogik.
Allerdings ist Paul Lorenzen ein Konstruktivist, so dass ich seine Schriften nicht ohne einen leisen Anflug von schlechtem Gewissen empfehlen könnte. Die Schriften von Paul Lorenzen an diesem Punkt Deines Weges zu lesen, könnte Dich eventuell zu einer gegenüber der zur Zeit dominierenden Grundlagenposition in der Mathematik kritischen Haltung bestärken, die Deinen weiteren Weg vielleicht zu sehr belasten würde.
> Danke für deine Mühe, wenigstens weiß ich jetzt wonach ich
> suchen muss...
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