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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Fr 17.12.2004 | | Autor: | ThomasK |
Hallo
Ich hab mal ne ganz einfache Frage, was bedeutet das [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] bei einer stetigen fkt.
Also z.b. eine Funktion f: D [mm] \to \IC [/mm] ist stetig im punkt [mm] x_{0} \in [/mm] D
wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt, das gilt
1. | f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D mit | x - [mm] x_{0} [/mm] | < [mm] \delta [/mm]
Also meine Fragen:
Für was steht das [mm] \varepsilon [/mm] und das [mm] \delta [/mm]
Wieso muss der Betrag kleiner sein als [mm] \varepsilon [/mm] bzw. [mm] \delta [/mm]
Vielleicht habt ihr noch ein paar beispiele, damit ich das auch verstehe
Danke schon mal im Vorraus
mfg
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Pommes |
Im Grunde genommen sagt diese Definition nichts anderes aus, als das die Funktion keine Sprungstelle in [mm] x_{0} [/mm] hat, und zwar deswegen:
Stell dir das [mm] \varepsilon [/mm] als eine Umgebung von [mm] f(x_{0}) [/mm] vor, die unendlich schmal werden kann, bis quasi nur noch [mm] f(x_{0}) [/mm] in dieser Umgebung liegt. Das Delta sagt im Prinzip dasselbe für die Abszisse aus.
Insgesamt bedeutet das dann in etwa soviel wie: Egal wie klein du dein [mm] \varepsilon>0 [/mm] wählst, in dem dein f(x) und [mm] f(x_{0}) [/mm] liegen, gibt es auch ein [mm] \delta>0, [/mm] so dass x in einer Umgebung von [mm] x_{0} [/mm] liegt (ich kann sowas nicht gut erklären, versuch dir einfach nen Graphen zu malen). Daraus flogt, das f(x) keine Sprungstellen hat (da die Bedingung jasonst nicht für jedes beliebige [mm] \varepsilon>0 [/mm] gelten würde) und somit stetig ist.
Ich hoffe, ich konnte dir damit zumindest ein bisschen weiterhelfen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 19.12.2004 | | Autor: | ThomasK |
Danke für deine Antwort.
das [mm] x_{0} [/mm] soll dann der Grenzwert sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 19.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo ThomasK,
> das [mm]x_{0}[/mm] soll dann der Grenzwert sein oder?
[mm] $x_0$ [/mm] ist die zu untersuchende Stelle, für welche die Stetigkeit überprüft wird. Gegen diesen Wert [mm] $x_0$ [/mm] lassen wir ja unser (variables) x laufen.
Der Grenzwert ist bei Stetigkeit [mm] $f(x_0)$.
[/mm]
Grüße + einen schönen Sonntag
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 So 19.12.2004 | | Autor: | ThomasK |
Ich versteh das noch nicht so ganz woher man das [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] her bekommt.
z.b. f(x) = [mm] x^{2} [/mm] + 1 bzw. f(x) = [mm] x^{2} [/mm] - 1 was ist den da das [mm] \varepsilon [/mm] und das [mm] \delta [/mm] ???
Wenn ich jetzt die Stetigkeit im interval [0,1] untersuche woher bekomm ich den das [mm] x_{0} [/mm] her, oder kann man sich das aussuchen bzw. ist vorgegeben?
Ich weiß ja das die Funktion stetig ist, da sie keine Lücke hat...
Aber wie kann man den sowas bewiesen?
mfg
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, vorgegeben sind as [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und ein beliebiges [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1]$.
Jetzt suchst du (du musst also die Existenz nachweisen!) ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass aus $|x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] folgt: $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Um das [mm] $\delta [/mm] $ zu finden, rechnet man am besten zuerst $|f(x) - [mm] f(x_0)|$ [/mm] aus, formt ein bisschen um und überlegt sich dann: Wie muss ich jetzt [mm] $\delta$ [/mm] wählen, damit dieser Ausdruck kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] wird?
Nun ja, bei uns war ja [mm] $f(x)=x^2 [/mm] + 1$.
Wir erhalten also für ein beliebig vorgegebenen [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1]$:
$|f(x) - [mm] f(x_0)|$
[/mm]
$= [mm] |(x^2 [/mm] + 1) - [mm] (x_0^2 [/mm] + 1)|$
$= [mm] |x^2 [/mm] - [mm] x_0^2|$ [/mm]
$= [mm] |x-x_0| \cdot |x+x_0|$
[/mm]
nach der dritten Binomischen Formel.
Nun ist aber wegen [mm] $x,x_0 \in [/mm] [0,1]$:
[mm] $|x+x_0| \le [/mm] |x| + [mm] |x_0| \le [/mm] 1 + 1 = 2$,
also:
$|f(x) - [mm] f(x_0)| \le [/mm] 2 [mm] \cdot |x-x_0|$.
[/mm]
Wie muss ich nun [mm] $\delta>0$ [/mm] wählen, damit für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt: $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ?
Wenn du mal scharf hinschaust, dann siehst du, dass man [mm] $\delta:= \frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] wählen kann. Denn dann gilt für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] :
$|f(x) - [mm] f(x_0)| \le [/mm] 2 [mm] \cdot |x-x_0| [/mm] < 2 [mm] \cdot \delta [/mm] = 2 [mm] \cdot \frac{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Wir haben also gezeigt: Für ein beliebig vorgegebenes [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1]$ und ein beliebig vorgegebenes [mm] $\varpepsilon [/mm] >0$ gibt es ein [mm] $\delta>0$ [/mm] (das von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] durchaus abhängen darf!) mit
$|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$.
[/mm]
Daher ist $f$ in $[0,1]$ stetig.
Liebe Grüße
Julius
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