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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Do 26.10.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die allgemeine Lösung der folgenden DGL:
a) y-xy'= [mm] \wurzel{x²+y²}
[/mm]
b) y'= [mm] \bruch{1+sinx}{y}
[/mm]
c) y'-xy²=2y² |
Hallo mal wieder,
bei dieser Aufgabe weiß ich allgemein nicht, ob ich gemacht hab, was erwartet wird und zum Anderen habe ich Probleme bei Teilaufgabe a)
zu b)
Diese Teilaufgabe kann man meiner Meinung nach sofort durch Trennung der Variablen lösen.
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1+sinx}{y} \Rightarrow [/mm] ydy=(1+sinx)dx [mm] \Rightarrow \integral_{ y_{0}}^{y}{t dt} [/mm] = [mm] \integral_{ x_{0}}^{x}{(1+sin s) ds} \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] 0,5y²-0,5 [mm] y_{0}²=x-cos [/mm] x- [mm] x_{0}+cos [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] y= [mm] \wurzel{2(x-cos x- x_{0}+cos x_{0}+ y_{0}²}
[/mm]
Richtig?
zu c)
gleiche Vorgehensweise bis zum letztlichen Ergebnis:
y= [mm] \bruch{2 y_{0}}{2-4x y_{0}-x² y_{0}+4 x_{0} y_{0}+ x_{0}² y_{0} }
[/mm]
zu a)
y-xy' = [mm] \wurzel{x²+y²} \Rightarrow [/mm] y'= [mm] \bruch{y- \wurzel{x²+y²}}{x}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Substituieren o.ä.? Wie auch immer: Ich wäre für etwas Hilfe dankbar.
Grüße, Patrick
P.S.: Sorry, dass der Artikel 2x drinsteht. Ist wohl irgendwas schief gegangen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Do 26.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi nochmal,
zu Aufgabe a)
>
> zu a)
>
> y-xy' = [mm]\wurzel{x²+y²} \Rightarrow[/mm] y'= [mm]\bruch{y- \wurzel{x²+y²}}{x}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Substituieren o.ä.? Wie
> auch immer: Ich wäre für etwas Hilfe dankbar.
>
Jeweils die Division mit x durchführen führt auf
[mm] y'(x)=\left( \bruch{y}{x}-\wurzel{1+\left( \bruch{y}{x} \right)^2} \right) [/mm] führt auf eine homogene DGL die man durch Substitution
von [mm] u=\bruch{y}{x} [/mm] lösen kann.
> Grüße, Patrick
>
> P.S.: Sorry, dass der Artikel 2x drinsteht. Ist wohl
> irgendwas schief gegangen.
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Hallo Patrick,
> zu b)
>
> Diese Teilaufgabe kann man meiner Meinung nach sofort durch
> Trennung der Variablen lösen.
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1+sinx}{y} \Rightarrow[/mm]
> ydy=(1+sinx)dx [mm]\Rightarrow \integral_{ y_{0}}^{y}{t dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{ x_{0}}^{x}{(1+sin s) ds} \Rightarrow[/mm] ...
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0,5y²-0,5 [mm]y_{0}²=x-cos[/mm] x- [mm]x_{0}+cos[/mm] x
> [mm]\Rightarrow[/mm] ... [mm]\Rightarrow[/mm] y= [mm]\wurzel{2(x-cos x- x_{0}+cos x_{0}+ y_{0}²}[/mm]
>
> Richtig?
Man beschränkt sich zumeist auf 1 Integrationskonstante. Die restlichen Konstanten kann man zusammenfassen.
y= [mm]\wurzel{2(x-cos x)+A}[/mm]
> zu c)
>
> gleiche Vorgehensweise bis zum letztlichen Ergebnis:
>
> y= [mm]\bruch{2 y_{0}}{2-4x y_{0}-x² y_{0}+4 x_{0} y_{0}+ x_{0}² y_{0} }[/mm]
Dies scheint auch richtig. Aber wie gesagt beim integrieren brauchst Du nur 1 Konstante einzuführen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Fr 27.10.2006 | | Autor: | oeli1985 |
> Hallo Patrick,
>
> > zu b)
> >
> > Diese Teilaufgabe kann man meiner Meinung nach sofort durch
> > Trennung der Variablen lösen.
> >
> > [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1+sinx}{y} \Rightarrow[/mm]
> > ydy=(1+sinx)dx [mm]\Rightarrow \integral_{ y_{0}}^{y}{t dt}[/mm] =
> > [mm]\integral_{ x_{0}}^{x}{(1+sin s) ds} \Rightarrow[/mm] ...
> > [mm]\Rightarrow[/mm] 0,5y²-0,5 [mm]y_{0}²=x-cos[/mm] x- [mm]x_{0}+cos[/mm] x
> > [mm]\Rightarrow[/mm] ... [mm]\Rightarrow[/mm] y= [mm]\wurzel{2(x-cos x- x_{0}+cos x_{0}+ y_{0}²}[/mm]
>
> >
> > Richtig?
> Man beschränkt sich zumeist auf 1 Integrationskonstante.
> Die restlichen Konstanten kann man zusammenfassen.
> y= [mm]\wurzel{2(x-cos x)+A}[/mm]
>
d.h. also: A=2(- [mm] x_{0}+cos x_{0}+ y_{0}²) [/mm] ? Oder kann ich mir die Arbeit schon vorher erleichtern?
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Hallo oeli,
Man integriert ohne Grenzen und muß auf einer Seite eine Integrationskonstante einführen.
Falls Anfangswerte [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] gegeben sind kann man das A im Nachhinein mittels Einsetzen bestimmen.
viele Grüße
mathemaduenn
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