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| Aufgabe | x'(t) = [mm] \pmat{ 3 & -8 \\ -2 & 3 } [/mm] x(t) + [mm] \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
Allgemeine Lösung berechnen |
Hallo,
ich weiß wie man die allgemeine Lösung berechnet doch bei dieser Aufgabenstellung war mir nicht klar was ich mit dem Vektor [mm] \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
anfange soll?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
die DGL hat ha folgende Form:
[mm] \\x'(t)=A\cdot\\x(t)+f(t)
[/mm]
Die Lösung mit Anfagswertpro. ist [mm] \\x(t)=e^{At}x_{0}+\integral_{a}^{t}{e^{A(t-s)f(s)ds}}
[/mm]
wobei das Integral über einer Vektorfunktion folgenderweise definiert ist: [mm] \integral_{a}^{b}{f(s)ds}=\vektor{\integral_{a}^{b}{f_{1}(s)ds} \\ \integral_{a}^{b}{f_{2}(s)ds} \\ .... \\\integral_{a}^{b}{f_{n}(s)ds}}.
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Das versteh ich überhaupt nicht, sorry.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Do 09.10.2008 | | Autor: | smarty |
Moin Karel,
der Vektor stellt mit jeder Komponente Funktionen dar. In deinem Beispiel sind die Funktionen konstant.
[mm] y_1(x)=0*x+2=2
[/mm]
[mm] y_2(x)=0*x+1=1
[/mm]
Lösungsansatz:
[mm] y_1=Ax+B
[/mm]
[mm] y_2=Cx+D
[/mm]
[mm] y_p=y_1+y_2=(A+C)x+(B+D)=\red{a}x+\green{b}
[/mm]
mit [mm] A+C=\red{a} [/mm] und [mm] B+D=\green{b}
[/mm]
Das Vorgehen ist jetzt wie bei der normalen DGL. Ableiten, einsetzen, Koeffizientenvergleich.
Viele Grüße
Smarty
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Irgendwie verstehe ich hier gar nichts mehr.
Wir haben hier immer die Eigenwerte und Eigenvektoren von der Matrix A aufgestellt und dann dazu die Basislösungen berechnet.
Bsp.:
A = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -4 & -2 & 0 }
[/mm]
b = [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ -6}
[/mm]
x'(t) = Ax(t) * b
Basislösungen:
[mm] x^{1}(t) [/mm] = exp(t) * [mm] \vektor{-1/2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] x^{2}(t) [/mm] = ....
[mm] x^{3}(t) [/mm] = ....
dann wurde [mm] x^{p} [/mm] = [mm] -A^{-1}b [/mm] berechnet hier: [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Danach alles in eine Formel eingestetzt und fertig. Stimmt das so nicht?
Das Problem ist hierbei aber, dass ich nicht weiss wie man auf die Basislösungen kommt?
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Hallo!
Das ist richtig, meistens geht man in den Eigenraum der Matrix über, was dazu führt, daß aus
[mm] $(\vec x)'=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }\vec [/mm] x$
sowas in der Art entsteht:
[mm] $(\vec x^\circ)'=\pmat{ 5 & 0 \\ 0 & 6 }\vec x^\circ$
[/mm]
(Zahlenwerte sind zufällig, nicht gerechnet)
Dadurch "entkoppelt" man die DGL, denn nun hast du zwei getrennte DGLs für beide Komponenten. Im Beispiel folgt nun der exponentielle Ansatz, der dir die Lösung liefert.
Hast du eine Lösung, mußt du diese natürlich aus dem Eigenraum wieder in dir ursprüngliche Basis zurückrechnen.
Allerdings kann man das bei 2x2-Matrizen oft auch ohne Eigenvektoren etc. lösen, wenn man sich eine geschickte Substitution ausdenkt, und genau das wurde dir hier vorgeschlagen.
Du kannst aber natürlich bei deiner Methode bleiben. Dabei hast du ja eine Transformationsmatrix T, mit der du die gesamte Gleichung in dein Eigenraum der Matrix überführst:
[mm] $(\vec [/mm] x)' = [mm] A\vec [/mm] x [mm] +\vec [/mm] b$
wird zu
[mm] $T(\vec [/mm] x)' = [mm] TA(T\vec [/mm] x) [mm] +T\vec [/mm] b$
[mm] $(\vec x^\circ)' [/mm] = [mm] A^\circ\vec x^\circ +\vec b^\circ$
[/mm]
Das [mm] A^\circ [/mm] ist nun auch wieder eine Diagonalmatrix, sodaß beide Zeilen völlig unabhngig voneinander sind.
Du suchst dann nur noch ne Lösung für DGLs der Art x'=x+b, und die solltest du beherrschen.
(Denkanstoß: x'=0, wie sieht dann x aus? Und wenn du daraus jetzt eine DGL bastelst...)
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Verstehe leider auch hier nur Bahnhof.
Eigentlich wollte ich ja nur die Basislösungen ausrechnen... und dann in die Formel einsetzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Verstehe leider auch hier nur Bahnhof.
>
> Eigentlich wollte ich ja nur die Basislösungen
> ausrechnen... und dann in die Formel einsetzen.
Welche Formel
Erklärungsversuch:
Du hast ein lineares inhommogenes System 2. Ordnung ("inhomogen " wegen [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] )
Ist Dir klar wie man die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Systems bestimmt ? Wenn ja, dann mach uns das mal vor ( Stichworte: Eigenwerte, Eigenvektoren,......)
Weiter gilt:
allg. Lösung des inhomogenen Systems = allgemeine Lösung des homogenen Systems + spezielle Lösung des inhomogenen Systems.
Ist Dir das bekannt ?
Was Du noch brauchst ist eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems.
Dafür gibt es mehrere Ansatzmöglichkeiten. Habt Ihr in dieser Richtung schon etwas gelernt ? Nenne es mal, dann sehen wir weiter.
FRED
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Also mit Formel meinte ich das hier:
allg. Lösung des inhomogenen Systems = allgemeine Lösung des homogenen Systems + spezielle Lösung des inhomogenen Systems
für die spezielle Lösung habe ich ja folgendes berechnet:
$ [mm] x^{p} [/mm] $ = $ [mm] -A^{-1}b [/mm] $: $ [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 0} [/mm] $
Die allgemeinen Lösungen des homogenen Systems bestimme ich mit den Eigenwerten und Eigenvektoren das ist mir klar.
Aber hier komme ich zu keinem Ergebnis, weshalb ich auch nicht weiß wie ich die Basislösungen konstruieren soll:
$ [mm] x^{1}(t) [/mm] $ = exp(t) * $ [mm] \vektor{-1/2 \\ 0 \\ 1} [/mm] $
$ [mm] x^{2}(t) [/mm] $ = exp(-1/2t) * [mm] (cos(\alpha(t)*1/12(\vektor{1 \\ -5 \\ 12}) [/mm] - [mm] sin(2t)1/12(\vektor{-2\wurzel{\alpha} \\ 2\wurzel{\alpha} \\ 0}))
[/mm]
$ [mm] x^{3}(t) [/mm] $ = exp(-1/2t) * [mm] (sin(\alpha(t)*1/12(\vektor{1 \\ -5 \\ 12}) [/mm] + [mm] cos(2t)1/12(\vektor{-2\wurzel{\alpha} \\ 2\wurzel{\alpha} \\ 0}))
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Jetzt verstehe ich nichts mehr. Von welchem System sprichst Du ? Ich sprach von diesem:
x'(t) = $ [mm] \pmat{ 3 & -8 \\ -2 & 3 } [/mm] $ x(t) + $ [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] $
FRED
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Ich war jetzt bei diesem:
A = $ [mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -4 & -2 & 0 } [/mm] $
b = $ [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ -6} [/mm] $
da ich hierzu eine Lösung habe aber nicht weiß wie ich drauf komme, und dann (falls ich es mal weiß) die Lösung zu dem anderen berechnen kann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 11.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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