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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:48 Fr 12.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | [mm] \vec{v}= \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 }; \vec{w}=\pmat{ 2 \\ 4a \\ a-1 }; \vec{x}=\pmat{ -5 \\ 2 \\ 3 }
[/mm]
Für welche [mm] a\in\IR [/mm] gilt [mm] \vec{x}\in span(\vec{v},\vec{w}) [/mm] |
Hallo,
einmal ganz allgemein. Wie rechne ich nach ob ein Vektor in meinem Span ist oder nicht?
Wenn ich [mm] \vec{x} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w} [/mm] darstellen kann dann ist er doch auch logischerweise [mm] \in [/mm] span [mm] (\vec{v},\vec{w}) [/mm] oder?
Wenn ich jetzt das Gleichungssystem aufstelle:
[mm] \lambda \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 }+\mu \pmat{ 2 \\ 4a \\ a-1 }=\pmat{ -5 \\ 2 \\ 3 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda+2\mu=-5
[/mm]
[mm] 2\lambda+4a\mu=2
[/mm]
[mm] \mu(a-1)=3
[/mm]
Dann kann ich doch eigentlich nur [mm] a\not=1 [/mm] ausschließen oder?
Ich verstehe nicht so wirklich wie das Lösen kann. Oder in den Worten Lukas Podolski: Wasn los hier?
Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen
Gruß
Rzeta
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Hallo Rzeta,
> [mm]\vec{v}= \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 }; \vec{w}=\pmat{ 2 \\ 4a \\ a-1 }; \vec{x}=\pmat{ -5 \\ 2 \\ 3 }[/mm]
>
> Für welche [mm]a\in\IR[/mm] gilt [mm]\vec{x}\in span(\vec{v},\vec{w})[/mm]
>
> Hallo,
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> einmal ganz allgemein. Wie rechne ich nach ob ein Vektor in
> meinem Span ist oder nicht?
>
> Wenn ich [mm]\vec{x}[/mm] als Linearkombination von [mm]\vec{v}[/mm] und
> [mm]\vec{w}[/mm] darstellen kann dann ist er doch auch
> logischerweise [mm]\in[/mm] span [mm](\vec{v},\vec{w})[/mm] oder?
>
> Wenn ich jetzt das Gleichungssystem aufstelle:
>
> [mm]\lambda \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 }+\mu \pmat{ 2 \\ 4a \\ a-1 }=\pmat{ -5 \\ 2 \\ 3 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda+2\mu=-5[/mm]
> [mm]2\lambda+4a\mu=2[/mm]
> [mm]\mu(a-1)=3[/mm]
>
> Dann kann ich doch eigentlich nur [mm]a\not=1[/mm] ausschließen
> oder?
>
> Ich verstehe nicht so wirklich wie das Lösen kann. Oder in
> den Worten Lukas Podolski: Wasn los hier?
>
Löse zunächst die ersten beiden Gleichungen
nach [mm]\lambda, \ \mu[/mm] auf.
Dann siehst Du welche a auszuschliessen sind.
> Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen
>
> Gruß
>
> Rzeta
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Sa 13.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Danke für die Antwort aber mir hat das nicht wirklich weitergeholfen.
Wenn ich die Gleichungen jetzt umstelle:
[mm] \lambda+2\mu=-5 \gdw \lambda=-2\mu-5
[/mm]
[mm] 2\lambda+4a\mu=2 \gdw \lambda= 1-2a\mu
[/mm]
[mm] \Rightarrow -2\mu-5=1-2a\mu \gdw \mu(a-1)=3
[/mm]
Da komm ich wieder auf das Ergebnis aus meiner letzten Gleichung.
Wenn ich nach [mm] \mu [/mm] auflöse:
[mm] \mu=\bruch{-5-\lambda}{2}
[/mm]
[mm] \mu=\bruch{1-\lambda}{2a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{-5-\lambda}{2}=\bruch{1-\lambda}{2a} \gdw \lambda=\bruch{5a+1}{1-a}
[/mm]
Entweder ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht oder ich habe was fundamentales nicht verstanden.
Liebe Grüße
Rzeta
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Hallo,
es ist richtig, daß nur für a=1 der Vektor nicht im Span der beiden anderen liegt, oder anders gesagt:
für alle [mm] a\not=1 [/mm] liegt er im besagten Span.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Sa 13.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Danke angela!
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